Cac bai tap lien quan den nghiem nguyen

CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM NGUYÊN
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT NGHIỆM NGUYÊN
I- Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:Ta có y2 – 2x2 = 1 ( y2 = 2x2 +1 ( y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1
( x2 = 2 k2 + 2k ( x chẵn , mà x nguyên tố ( x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(
+ y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:Ta có: (2x + 5y + 1)(
+ y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ( 2x + 5y + 1 lẻ ( 5y chẵn ( y chẵn

+ y + x2 + x =
+ y + x(x+ 1) lẻ
có x(x+ 1) chẵn, y chẵn (
lẻ (
= 1 ( x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105 ( 5y2 + 6y – 104 = 0
( y = 4 hoặc y =
( loại)Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2( x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
( (x+1)4 – y2 = 1 ( [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1
(x+1)2 – y = 1 1 + y = 1- y
( (x+1)2 + y = 1 (
(x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y
(x+1)2 + y = -1
( y = 0 ( (x+1)2 = 1 ( x+1 = (1 ( x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn
Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn: Ta giả sử x ( y ( z ( t ( 1 Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
( 2 =
+
+
+
+
(
( t 3 ( 15 ( t = 1 hoặc t = 2
* Với t = 1 ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz
( 2 =
+
+
+
(


(
( 15 ( z =

Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy( (2x – 5) (2y - 5) = 65
( x =  hoặc 
Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng
Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên
* Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz( 4=
+
+
+
(

(
(
( 9 ( z = 2 (vì z( t( 2)( (8x – 5) (8y – 5) = 265
Do x( y( z ( 2 nên 8x – 5 ( 8y – 5 ( 11( (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm
vậy nghiệm của PT là bộ (x, y, z)= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị
IV- Phương pháp loại trừ(phương pháp 4)
Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1! + 2! + … + x! =

Hướng dẫn: Với x( 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là