BDT tu mathscope 2009

(Inequalyties from http:// forum.mathscope. org , posted by Kim Dinh Son)
















Kim Đình , 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Email: [email protected]
Gmail: [email protected]






1.Các Bất Đẳng Thức

Bài 1[Kim Đình Sơn]





, với k>0 bất kì.


Bài 2[Kim Đình Sơn]
Cho
dương thỏa mãn:
. Khi đó:




Bài 3[Kim Đình Sơn]
Cho a,b,c là 3 ,





Bài 4[Kim Đình Sơn]
Nếu
. Khi đó




Bài 5[Kim Đình Sơn] Nếu
là những số thực, khi đó


Bài này có ba cách phân tích kiểu S-O-S, và mình cũng xin giới thiệu một cách phân tích mới (do mình tình cờ tìm ra)




Bài 6[Kim Đình Sơn] Cho
không âm thỏa mãn





Bài 7 [Kim Đình Sơn] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn
.







Bài 8[Kim Đình Sơn]
Cho x,y,z là cá số thực, giả sử p=x+y+z >0,và q=xy+yz+zx. Khi đó, với mọi a,b,c là các số thực, ta có:



Hệ quả: Đặt x=a(a-b), y=b(b-c), z=c(c-a), ta có bất đẳng thức




Bài 9[Kim Đình Sơn] Với mọi a,b,c thực phân biệt,ta có




Remark
Bài toán tương tự bài 9 như sau

Với mọi a,b,c thực phân biệt, ta có







Bài 10[Kim Đình Sơn]
Giả sử
và 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, khi đó





Bài 11[Kim Đình Sơn]
Giả sử a,b,c là các số thực dương, khi đó





Bài 12
Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả mãn
, khi đó





Bài 12.5
Giả sử a,b,c là các số thực dương thoả mãn
, khi đó





Bài 14 [Vasile Critoaje, ONI, GIL 2006]
giả sử
là các số thực dương thoả mãn
, khiđó






Bài 15[Kim Đình Sơn]
Cho


là các số thực thoả mãn
. Chứng minh rằng






Bài 16[Phạm Văn Thuận]
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực







Bài 17[Kim Đình Sơn]
Cho 3 số thực dương
thoả mãn điều kiện
, khi đó





Bài 18[Kim Đình Sơn]
Giả sử
dương thoả mãn
, khi đó





2.Lời Giải


Bài 1[Kim Đình Sơn]





, với k>0 bất kì.

Chứng minh .Ta sẽ sử dụng Phương pháp phân tích tổng bình phương (S-O-S). Đặt


, khi đó




Do đó, bất đẳng thức tương đương với



Không mất tổng quát giả sử
. Chú ý rằng
và
, nên
. Vì vậy



Ta chỉ cần chứng minh
là đủ, và chứng minh điều này đơn giản, xin dành cho bạn đọc, vậy Bất đẳng thức coi như được chứng minh xong.

Bài 2[Kim Đình Sơn]
Cho
dương thỏa mãn:
. Khi đó:




Chứng minh. Đặt
khi đó bài toán tương đương với


, áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi
với
, khi đó ta có

(1)

Sử dụng bất đẳng thức

, suy ra vế trái của (1) sẽ lớn hơn hoặc bằng 3, do đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
.



Bài 3[Kim Đình Sơn]
Cho a,b,c là 3 số,




Chứng minh. Ta cũng sử dụng bất đẳng thức Jensen như bài 2. Trước hết, bất đảng thức tương đương với




Áp dụng