Bdt den cuc tri

Phép biến đổi tương đương
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị

I - Phép biến đổi tương đương
1) Phương pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tương đương về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngược lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a3 + b3 + abc ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a3 + b3 + abc ab (a + b + c)
a3 + b3 + abc a2b + ab2 + abc
(a+b)(a2_ab+b2) ab (a+b)
(a+b) (a-b)2 0
Ta có: a; b; > 0 a + b > 0
(a - b)2 0 a, b
(a + b).(a - b)2 0 (Luôn đúng) a, b > 0
a3 + b3 + abc ab (a+b+c) (ĐpCM)

VD2: Cho a, b, c > 0 CM:

Lời giải:
Ta có
a2b2 + b2c2 + c2a2 abc (a + b + c)
2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 2 abc(a + b + c)
(a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2) 0
b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của Cm:

Bài làm
Đặt M =
có M

(Vì a; b; c > 0)


có




Vậy

VD4 :Cho ab 1 CM:

Bài giải
Ta có (1)
(Vì ab


( Luôn đúng

Dấu “=” xảy ra

VD5:Cho
CM:
Bài làm
áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:

Tương tự:

mà :



Dấu “=” xảy ra a = b = c = d

VD6: Cho abc Với: A B C

(ha ; hb ; hc lần lượt là các đường cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của
Bài làm:
Gọi S là diện tích ABC

tương tự:
(1)

Lại có A B C a
b
c (Quan hệ cạnh – góc trong
Đpcm
Dấu”=” xảy ra (=)

VD7 : CM: a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
Từ đó chứng minh: Với a , b , c , > 0

Bài giải:
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca (*)
2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca)
0
(=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
0 ( luôn đúng )
Dấu “=” xảy ra (=) a = b = c
Ta có : a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
a4 + b4 + c4
a2b2 + b2c2 + c2a2
a8 + b8 + c8
a4b4 + b4c4 + c4a4
áp dụng (*) a8 + b8 + c8
a4b4 + b4c4 + c4a4
a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2


Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c

VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 ; p là nửa chu vi
Cm:
Bài giải
Từ bất đẳng thức(x ; y không âm ; xy 0 )
(Dễ dàng CM được BĐT Côsi)
Ta có: