Batdangthuc Pafnuty Chebyshev.

CHUYÊN ĐỀ 9
Bất đẳng thức cộng Chebyshev
(Trê-Bư-Sép)

A-LÝ THUYẾT.
Pafnuty Lvovich Chebyshev (tiếng Nga: Пафну́тий Льво́вич Чебышёв )
Ông sinh ngày 16 tháng 5 năm 1821 – mất ngày 8 tháng 12 năm 1894 là nhà toán học nổi tiếng người Nga và là người sáng tạo ra bất đẳng thức cộng Chebyshev.

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng:
-Nếu cho
/
và
/
thì
/

-Tương tự, nếu
/
và
/
thì
/

Chứng minh
Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
/
và
/
Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có
/
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
/
/
/
/
/

Cộng vế theo vế, ta có:
/
chia cả hai vế cho /, ta nhận được:
/
Hay :

Vận dụng bất đẳng thức Chebyshev để giải các bài tập sau:

B-BÀI TẬP.
Bài 1-Cho: a, b > 0 .Chứng minh :

Giải.
Giả sử 0 < x ≤ y .Vậy

-Theo bất đẳng thức Chebyshev thì :


Nhân các vế tương ứng , ta được:


Vậy :

-----------------------


Bài 2-Cho a,b,c >0 và abc=1 .Chứng minh :
(1)
Giải.
Ta đặt :
, do a,b,c > 0 nên x,y,z > 0
Từ đó suy ra :

-Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

và

-Khi đó (1)

Do

Giả sử :

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta dược:


Hay :


Vậy :

---------------------

Bài 3-Cho a, b ,c là 3 cạnh của tam giác và a+b+c = 2p.
Chứng minh :

Giải.
-Đặt
Do a,b,c >0 nên x ,y,z > 0
-Giả thiết : a+b+c = 2p (( x+y+z=a+b+c=2p
-Do vậy :
(*)
-Từ đó ta có :



Thay kết quả (*) vào ta được:


-Giả sử :

-Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev,ta được :


Vậy (1’) đúng. Hay :

-----------------

Bài 4-Tam giác ABC có 3 góc A,B,C và tương ứng 3 cạnh a,b,c.
Chứng minh :

Giải.
-Giả sử : a ≤ b ≤ c ( A ≤ B ≤ C
-Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta được:


Vậy :
.
-----------------
Bài 5- Cho a, b,c là 3 số dương. Chứng minh :
.
Giải.
-Giả sử :

-Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta được:


Vậy :

--------------------


Bài 6-Cho tam giác ABC , diện tích S, có 3 đỉnh A,B,C tương ứng 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao ha, hb,hc . Chứng minh :

Giải.
Giả sử :
, Do :

Nên :

Ta có :





Từ đó suy ra:


Vậy :

---------------------hết