Bất đẳng thức và Bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN







TỔNG HỢP LÍ THUYẾT TOÁN 10

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH





Họ và tên: Nguyễn Thúy Hằng
Lớp: 10a6










Năm học: 2012 - 2013



BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức

* Tính chất:
1)
và


2)


3) Nếu
thì


Nếu
thì


* Các hệ quả:

4)
và



5)
và


6)
và


7)


8)


Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

* Tính chất:

với mọi


(với
)

hoặc
(với
)

* Đối với hai số

tùy ý, ta có:


Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Đối với hai số không âm

ĐỊNH LÍ:
Với mọi

ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng truing bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó băng nhau.

HỆ QUẢ:
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

ỨNG DỤNG:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hinh vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Đối với ba số không âm

Với mọi
,
,
, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.


Nói cách khác, trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.

BÀI 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Khái niệm bất phương trình một ẩn

ĐỊNH NGHĨA:
Cho hai hàm số
và
có tập xác định lần lượt là
và
.
Đặt

Mệnh đề chứa biến có có một trong các dạng
,
,
,
được gọi là bất phương trình một ẩn;
gọi là ẩn số(hay ẩn) và
gọi là tập xác định của bất phương trình đó.
Số
gọi là một nghiêm của bất phương trình
nếu
là mệnh đề đúng.



Khái niệm “nghiệm” cũng được định nghĩa tương tự cho các bất phương trình dạng
,
,
.
Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó.

CHÚ Ý:
Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định
của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để
. Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất phương trình.

Bất phương trình tương đương

ĐỊNH NGHĨA:
Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm.


Nếu
tương đương với
thì ta viết;





CHÚ Ý:
Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương rình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và tương đương với nhau, ta nói:
Hai bất phương trình tương đương trên D, hoặc
Với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau.

Biến đổi tương đương các bất phương trình

Cũng như với phương trình, ở đây chúng ta quan tâm đến các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình. Ta gọi chúng là các phép biến đổi tương đương. Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó. Chẳng hạn, việc thực hiện các phép biến đổi đồng nhất ở mỗi vế của một bất phương trình và giữ nguyên tập xác định của nó là một phép biến đổi tương đương.

ĐỊNH LÍ:
Cho bất phương trình
có tập xác định D,
là một hàm số xác định trên D.
Khi đó, trên D, bất phương trình
tương đương với mỗi bất phương trình:
1)

2)
nếu
với mọi