Bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng

Bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng

Trần Nam Dũng

Bất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptolemy về tính chất của tứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh điển và đẹp của hình học sơ cấp.

Có thể nói, bất đẳng thức Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ các cách chứng minh đa dạng đến những ứng dụng phong phú trong các bài toán chứng minh, trong tính toán hình học và trong các bài toán bất đẳng thức hình học.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét những khía cạnh thú vị của bất đẳng thức Ptolemy, chứng minh một luận điểm thú vị là bất đẳng thức Ptolemy thực chất vừa là hệ quả, vừa là mở rộng của bất đẳng thức tam giác. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các ứng dụng phong phú của các kết quả này trong hình học và cả trong các môn học khác (như số học, lý thuyết đồ thị …)

Bất đẳng thức Ptolemy là hệ quả của bất đẳng thức tam giác?

Ai cũng biết bất đẳng thức tam giác: Với A, B, C là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng, ta có AB + BC ( AC (1). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Nói cách khác
với k là một số thực dương.

Trong khi đó, bất đẳng thức Ptolemy khẳng định: Với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ trên mặt phẳng, ta có AB.CD + AD.BC ( AC.BD (2).

Rõ ràng, theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thức Ptolemy chính là mở rộng của bất đẳng thức tam giác. Vì sao vậy? Xin giải thích lý do:

Chia hai vế của (2) cho BD, ta được


Nếu chọn D “đủ xa” thì từ đây ta sẽ suy ra AB + BC ( AC.

Điều này nghe cũng ngạc nhiên, tuy nhiên lợi ích đem lại của sự đặc biệt hoá này không nhiều, vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thức Ptolemy cao siêu để chứng minh bất đẳng thức tam giác vốn được coi như tiên đề?

Tuy nhiên, một logich rất tự nhiên dẫn chúng ta đến một ý tưởng hữu ích hơn: Như vậy bất đẳng thức Ptolemy có liên quan đến bất đẳng thức tam giác. Vậy có thể là bất đẳng thức Ptolemy có thể được chứng minh nhờ vào bất đẳng thức tam giác?Điều này quả là như vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng cho luận điểm này:

Cách chứng minh thứ nhất: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
BA/EA = BD/CD
Suy ra
BA.CD = EA.BD (3)
Mặt khác, hai tam giác EBC và ABD cũng đồng dạng do có
BA/BD = BE/BC và (EBC = (ABD
Từ đó
EC/BC = AD/BD
Suy ra
AD.BC = EC.BD (4)
Cộng (3) và (4) ta suy ra
AB.CD + AD.BC = BD.(EA+EC)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + AD.BC ( AC.BD.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, E, C thẳng hàng, tức là khi A và D cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau, và khi đó tứ giác ABCD nội tiếp.

Trong chứng minh trên ta đã chỉ xem xét đến trường hợp ABCD lập thành một tứ giác lồi và điểm E được dựng nằm trong tứ giác ABCD. Nếu dùng ngôn ngữ phép biến hình thì vấn đề dựng điểm E sẽ rõ ràng hơn và không phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm: Xét phép vị tự quay tâm B biến D thành A và C thành E.

Cách chứng minh thứ hai: Sử dụng phép nghịch đảo và bất đẳng thức tam giác.

Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích 1 biến B, C, D thành B’, C’, D’. Theo tính chất của phép nghịch đảo, ta có
B’C’ = BC/AB.AC
C’D’ = CD/AC.AD
B’D’ = BD/AB.AD
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
B’C’ + C’D’ ( B’D’
Thay các đẳng thức trên vào thì được
AD.BC + AB.CD ( AC.BD
Dấu bằng xảy ra khi B’, C’, D’ thẳng hàng. Khi đó, lại áp dụng tính chất của