Bat dang thuc

. Ôn tập bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "
" hoặc "
" được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề 
đúng thì ta nói bất đẳng thức 
là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức
. Ta cũng viết là
.
Chẳng hạn, ta đã biết
                   
và
(tính chất bắc cầu) .
                   
tùy ý
(tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số). Nếu bất đẳng thức
là hệ quả của bất đẳng thức 
và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau.
Ta viết là
. 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức
ta chỉ cần chứng minh
. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau.
                   
Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng
hoặc
. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng
hoặc
là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 1. Bất đẳng thức Côsi Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
                   
,  
.         (1) Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi
. Chứng minh Ta có       
. Vậy          
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, tức là khi và chỉ khi
. 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
                   
. Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích
lớn nhất khi và chỉ khi
. Chứng minh.  Đặt
. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
                   
, trong đó
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
. Vậy tích
đạt giá trị lớn nhất bằng 
khi và chỉ khi
. Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (h.26).
                   
Hệ quả 3 Nếu
cùng dương và có tích không đổi thì tổng
nhỏ nhất khi và chỉ khi
. Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất (h.27).
                   
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất cho trong bảng sau
               
Ví dụ. Cho     
. Chứng minh rằng
                   
              
              
                                  

Chuyên đề bổ sung:
Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN
bất đẳng thức Schur
Bất đẳng thức cộng Chebyshev
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
BĐT tam giác
bất đẳng thức becnuli
Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si
BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG
Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
bất đẳng thức becnuli
Tác giả: ngoduykhanh đưa lên lúc: 21:03:25 Ngày 01-02-2008
bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.
Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:


với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:


với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
Chứng minh:
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành
tức là
mà rõ ràng đúng.
Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:

Cần chứng minh:

Thật vậy,
(vì theo giả thiết
)