Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC



Lê Hồ Quý
(GV. THPT Lê Lợi - Kon Tum)

Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức là một trong những chuyên đề khó của chương trình toán THPT bởi phạm vi nghiên cứu về vấn đề này rất rộng. Để giải được bài toán về loại này, đòi hỏi người học không những phải nắm vững lý thuyết, mà còn phải biết cách sử dụng các phép biến đổi, bất đẳng thức phụ,… linh hoạt và sáng tạo. Trong phạm vi bài viết, chúng tôi muốn chia sẻ cùng các em học sinh thân yêu, chia sẻ cùng các bậc thầy cô giáo đáng kính các kinh nghiệm tích góp được trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào Đại học.

§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I. BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng “A>B”, “ATa có:



2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:


II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :


( Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :



2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm :



III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI
1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số:


2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:



IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:



V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC:



VI. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC:







































§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp
Để chứng minh A ≥ B, ta sẽ chứng minh A-B ≥ 0 (nghĩa là ta sử dụng định nghĩa, tính chất cơ bản,... để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh).
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1)
b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2)
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1)
với mọi a, b, c, d, e.
(ĐH Y dược TP. HCM-1999)
Lời giải.



HTH TP.HCM -1993)
Lời giải.

(2)



trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)
Lời giải.
(1)

(2)




( Bài tập tự luyện:


(Đề thi vào lớp 10 chuyên của trường Trần Đại Nghĩa TP. HCM năm 2004 )


(Đề 148 - Bộ đề tuyển sinh)


(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995)


(Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997)
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
(Đề