Bất đẳng thứ

Bất đẳng thức - Bất phương trình
Trần Sĩ Tùng
CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất
Điều kiện

c > 0
c < 0

a > 0, c > 0

n nguyên dương

a > 0
Nội dung
a < ba + c < b + c
a < bac < bc
a < bac > bc
a < b và c < da + c < b + d
a < b và c < dac < bd
2n+1 2n+1
0 < a < ba 2n < b2n
a < ba b
a < b3 a 3 b
a < ba
< b
(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)
(6b)
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a 2( 0a .
b) Bất đẳng thức Cô-si:

+ Với a, b( 0, ta có:
a2
 b 2( 2ab .
a b
2
( ab . Dấu "=" xảy raa = b.
+ Với a, b, c( 0, ta có:
a b c
3
( 3 abc . Dấu "=" xảy raa = b = c.
Hệ quả: - Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhấtx = y.
- Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhấtx = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung
x( 0, x( x, x((x
x( aa( x( a
x( a
x((a

x( a
a > 0
a( b( a b( a b

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ a( b c a b ; b( c a b c ; c( a b c a .
e) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki
Với a, b, x, y( R, ta có: (ax by 2) ( (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ) . Dấu "=" xảy raay = bx.
Trang 30


Trần Sĩ Tùng
Bất đẳng thức - Bất phương trình
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
• Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
- Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
- Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
• Một số BĐT thường dùng:
2
+ A( 0
Chú ý:
+ A B( 0
2
2
+ A.B( 0 với A, B( 0.
+ A B( 2AB
2
2
- Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
- Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài 1.
Cho a, b, c, d, e( R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2 b c( ab bc ca
c) a 2 b c 3( 2(a b c)

e) a 4 b c1( 2a(ab( a c1)

g) a 2(1 b b (1 c c (1 a 6abc
2
2
4
2
2
2
2
i)
1
a

1
b
2

1
(
c
2

1
ab

2

1
bc

1
ca
với a, b, c > 0
2
2
b) a 2 b1( ab a b
d) a 2 b c( 2(ab bc( ca)
2
2
f)
a2
4
 b 2 c(