Bài toán về Bộ ba số Pythagore

Bài toán về bộ ba số Pythagore





Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - mất khoảng năm 500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại với định lý nổi tiếng (*):

Định lý Pythagore : a2 + b2 = c2
Bộ ba số Pythagore
Từ định lý đó, một bộ ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Khi đó ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba ai cũng biết là (3, 4, 5). Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k bất kỳ cũng là số Pythagor. Một bộ ba số Pythagore được gọi là bộ ba số Pythagor nguyên tố nếu a, b và c là các số nguyên tố cùng nhau.
Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ định lý Pythagore. Các bộ ba số Pythagore có thể lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c. Tuy nhiên, độ dài các cạnh của một tam giác vuông không tạo thành bộ ba số Pythagor nếu chúng không là các số nguyên. Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông , nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagore vì √2 không là số nguyên.
Không có bộ ba số Pythagore nào có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau (trừ 3,4 và 5)
Có 16 bộ ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:
( 3, 4, 5)
( 5, 12, 13)
( 7, 24, 25)
( 8, 15, 17)

( 9, 40, 41)
(11, 60, 61)
(12, 35, 37)
(13, 84, 85)

(16, 63, 65)
(20, 21, 29)
(28, 45, 53)
(33, 56, 65)

(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(48, 55, 73)
(65, 72, 97)


Công thức tổng quát
Công thức sau tổng quát tất cả các bộ ba số Pythagore (không đơn trị):
a = k*(2mn)
b = k*(m2 - n2)
c = k*(m2 + n2)
trong đó m và n là hai số nguyên dương với m > n và k là số nguyên dương tùy ý. Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới công thức cổ điển cho bởi Euclid (kh. 300 TCN) trong cuốn sách Elements của ông, thường được gọi là công thức Euclid:
a = 2mn
b = m2 - n2
c = m2 + n2
Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là các số nguyên tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn. Nếu cả n và m là chẵn, thì a, b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó không nguyên tố cùng nhau. Mọi bộ ba nguyên tố (có thể đổi vai trò giữa a và b) sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.
Tính chất sơ cấp
Trong một bộ ba Pitago nguyên thủy, kí hiệu:
Hai cạnh góc vuông:

và
là 2 cạnh góc vuông a,b; trong đó
là cạnh góc vuông chẵn.

là cạnh huyền.
Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pitago,


(c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm tra xem một bộ ba số có phải là bộ ba Pitago hay không, tuy vậy đây chỉ là điều kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba Pitago. Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) " (c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pitago; bộ ba Pitago này có thể không nguyên thủy.
Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pitago nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pitago nguyên thủy.
Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.
Tồn tại vô