Bài toán thiết diện-11

CHUYÊN ĐỀ 3-
TÍNH ĐỊNH LƯỢNG CỦA THIẾT DIỆN
Giới thiệu:
Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song mặt phẳng đáy, ta được thiết diện là một hình tròn.Nếu cắt bởi một mặt phẳng không song song với mặt phẳng đáy ta dược một hình Elip, tùy theo góc hợp bởi mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy mà hình Elip đó có thể “lớn” , “nhỏ “.
Tương tự như vậy, khi cắt một hình chóp bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy ta được thiết diện là một đa giác đồng dạng với đa giác đáy.Mặt khác , nếu mặt phẳng cắt “ gần” với đỉnh ta được một mặt phẳng tương đối “ nhỏ”, nhưng khi tịnh tiến mặt phẳng cắt đó càng xa đỉnh, ta được một đa giác “ lớn hơn “, xem như “gần bằng” mặt phẳng đáy.
Sự thay đổi diện tích của thiết diện như vậy được gọi là “ Tính định lượng của thiết diện” .Người học tất nhiên suy nghĩ rằng: những yếu tố nào đã làm thay đổi diện tích ấy ? .Có thể định trước một giá trị của thiết diện để xác định giá trị của các yếu tố liên quan hay không ? . Ta tìm hiểu điều này qua số số bài toán sau đây
I-CÁC BÀI TOÁN.

Bài 1-Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a ,BC=2a, có SA=SB=SD=SD=2a. Gọi A’.B’,C’,D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD.
Tính diện tích thiết điện ABCD.
/
Giải. ( hình -1 và hình 2)
-Do các góc A,B,C,D vuông nên các góc A’, B’,C’,D’ vuông . Thiết diện tạo bởi mp(A’B’C’D’) và hình chóp là hình chữ nhật A’B’C’D’ , và


-Vậy :

-Tổng quát : Gọi tỉ số

-Gọi S’ là diện tích thiết diện, S là diện tích đáy. Khi đó ta có :

1-Vận dụng vào bài toán trên với
, ta được :


2-Vận dụng vào bài toán trên với
, ta được :

(thiết diện là mp (ABCD))

--------------------------

Bài 2- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a Gọi M , N lần lượt là các giao tuyến của SA và mp (M,BC) , mp(N,BC) , Biết góc hợp bởi mp(M,BC) ,(N,BC) với mp đáy ABC là 600, 300.
a)- Tính diện tích thiết diện MBC, NBC.
b)-So sánh và nhận xét về sự thay đổi diện tích của các thiết diện ấy?
Giải.















a)- Độ dài trung tuyến AI:


-Diện tích đáy ABC :
(1)
*Tính SNBC.
Do IA là hình chiếu vuông góc của IN trên mp(ABC)
Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) một góc 300, thì :

(2)
*Tính SMBC.
Do IA là hình chiếu vuông góc của IM trên mp(ABC)
Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) một góc 600, thì :

(3)
b)-So sánh các kết quả (1), (2),(3) ta thấy diện tích của thiết diện tăng dần từ
, đến
khi góc tạo thành( theo đề bài) là 300,đến
khi góc tạo thành( theo đề bài) là 600……………………..

-----------------
Bài 3-Cho tứ diện ABCD có AB=AC=2a, CD=a.Góc hợp bởi AB và CD bằng 300.Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AC sao cho AM = x .Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AB, CD và cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q.
a)-Xác định thiết diện tìm được ?
b)-Tính diện tích S của thiết diện theo a và x.?
c)-Xác định giá trị của x để S lớn nhất ?
Giải.
/
a)-
Ta có :

Do (P) // AB nên :

Ta có :

Do (P) // AB nên :

Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh tương ứng song song từng đôi một là hình bình hành MNPQ.
Vậy : Thiết diện MNPQ là hình bình hành.
b)-
*Xét

*Xét

*Theo giả thiết :

Từ (*), (**) và (***) ; được: *Xét
(1)
Vậy : Thiết diện MNPQ có diện tích là

c)-
Ta biết :