Bài toán lớp X của Nga, ngày 25 tháng 2 năm 2017

10 класс
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)


1.1. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: x2y – y ( 0.
Ответ: см. рис. 1.
Решение. x2y – y ( 0 ( y(x2– 1) ( 0 (
или
.
Рис. 1



1.2. В выпуклом четырехугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трех остальных углов также равняться m?
Ответ: не могут.
Решение. Из условия задачи следует, что в четырехугольнике нет прямых углов. Так как сумма его углов равна 360(, то все его углы не могут быть одновременно ни тупыми, ни острыми. Следовательно, в четырехугольнике есть хотя бы один тупой угол и хотя бы один острый угол. Но тангенсы тупого и острого углов имеют разные знаки, поэтому они между собой не равны.
1.3. Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних числа отличались или на 2, или в два раза?
Ответ: можно.
Решение. Например, так: 99, 97, ..., 3, 1, 2, 4, ..., 98, 100 (сначала нечетные числа в порядке убывания, затем четные числа в порядке возрастания).
Существуют и другие примеры.


Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. (sinx, siny, sinz) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cosx, cosy, cosz) также являться арифметической прогрессией?
Ответ: не может.
Решение. Первый способ. Предположим, что (cosx, cosy, cosz) – арифметическая прогрессия. Тогда 2cosy = cosx + cosz. Из условия задачи следует, что 2siny = sinx + sinz. Возведем в квадрат каждое из этих равенств и почленно сложим. Получим: 4cos2y + 4sin2y = cos2x + 2cosxcosz + cos2z + sin2x + 2sinxsinz + sin2z ( cos(x – z) = 1 ( x – z = 2(n, n(Z. Следовательно, sinx = sin(z + 2(n) = sinz, что противоречит условию задачи.
Второй способ. На координатной плоскости рассмотрим точки А(cosx; sinx), В(cosy; siny) и С(cosz; sinz). Тогда
(cosy – cosx; siny – sinx),
(cosz – cosy; sinz – siny).
Если каждая из последовательностей (cosx, cosy, cosz) и (sinx, siny, sinz) является арифметической прогрессией, то соответствующие координаты этих векторов равны, значит,
=
. Из условия задачи следует, что эти векторы не нулевые, следовательно, точки А, В и С должны лежать на одной прямой. С другой стороны, эти три точки лежат на единичной окружности. Одновременно это невозможно, так как прямая и окружность не могут иметь три общие точки.
2.2. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, М и N – середины сторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадь четырехугольника пополам. Найдите отношение ОМ : ОN, если AD = 2BC.
Ответ: 1 : 2.
Решение. Докажем, что АВСD – трапеция. Действительно, проведем, например, отрезки BN и CN (см. рис 2). Тогда NM – медиана треугольника BNC, поэтому равны площади треугольников BNM и CNM.


Рис. 2
По условию, MN делит площадь АВСD на две равные части, значит, SABN = SDСN. Кроме того, у треугольников ABN и DСN равны основания: AN = DN, поэтому их высоты BH и CT также равны. Следовательно, AD || BC, то есть ABCD – трапеция.
Тогда точка О лежит на отрезке MN, а треугольники AOD и COB подобны с коэффициентом k =
= 2.
Так как ON и OM – соответствующие медианы этих треугольников, то ON : OM = k, то есть ОМ : ОN = 1 : 2.
2.3. Число 1047 при делении на A дает остаток 23, а при делении на A + 1 – остаток 7. Найдите A.
Ответ: 64.
Решение. Так как 1047 дает остаток 23 при делении на А, то 1047 – 23 = 1024 делится на А. Аналогично, 1047 дает остаток 7 при делении на А + 1, значит, 1047 – 7 = 1040 делится на А + 1. Так как 1024 = 210, то А = 2n, где n – натуральное и n ( 10. При этом, А > 23, поэтому n ( 5. Осталось выяснить, какие из чисел: 25 + 1, 26 + 1, 27 + 1, 28 + 1, 29 + 1, 210 + 1 являются делителями числа 1040. Непосредственной проверкой убеждаемся, что этому условию удовлетворяет только одно из этих чисел: 26 + 1 = 65. Следовательно, А = 26.


Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. Пусть a, b, c, d – действительные числа, удовлетворяющие системе равенств:
. Какие значения может принимать выражение
?
Ответ: 2 или 4.
Решение. Пусть
,
, тогда