Bài toán của Nga ngày 14 tháng 1 năm 2917

8 класс
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1. Известно, что
. Докажите, что
.
Решение. Первый способ. Преобразуем левую часть доказываемого равенства:
=
=
=
=
, что и требовалось.
Второй способ. Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на a + b:
(
(
= 1 (
(
. Разделив обе части последнего равенства на (
)2, получим:
, что и требовалось.


1.2. Можно ли произвольный ромб разрезать не более, чем на две части так, чтобы из этих частей сложить прямоугольник?
Ответ: можно.
Рис. 1
Решение. Если ромб является квадратом, то разрезать не потребуется. В ромбе АВСD, отличном от квадрата, проведем высоту ВH из вершины тупого угла. Она лежит целиком внутри ромба, так как AH < AB = AD. Отрежем треугольник АВН и приложим его к стороне CD, совместив АВ и CD, тогда HBCH’ – прямоугольник (см. рис. 1).
Отметим, что не обязательно проводить высоту из вершины. Достаточно, чтобы проведенная высота лежала внутри ромба. В этом случае, прямоугольник будет складываться из двух прямоугольных трапеций.
Отметим также, что описанный способ разрезания можно обобщить на произвольный параллелограмм.
1.3. Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы пяти различных простых чисел. Ответ объясните.
Ответ: 43.
Решение. Так как слагаемых должно быть нечетное количество, то каждое из них должно быть нечетным. Рассмотрим сумму пяти наименьших простых нечетных чисел: 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39. Она является составным числом, поэтому одно из слагаемых надо попробовать заменить на следующее простое число 17. Новая сумма будет наименьшей, если на 17 заменить наибольшее из слагаемых: 3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43 – простое число.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть 3 самых маленьких гриба, то белых станет половина. Сколько грибов в корзине?
Ответ: 25 грибов.


Решение. Пусть всего в корзине x грибов, из которых белых грибов – y (x и y – целые числа). Тогда y = 0,52x, то есть
. Следовательно, x делится на 25. Кроме того, x < 70 и x – нечётное (так как x – 3 должно делиться на 2). Этим условиям удовлетворяет только x = 25, тогда y = 13. Белых грибов станет половина, если среди трех выкинутых грибов будет 2 белых.
2.2. Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно. Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.
Ответ: 90(.
Рис. 2
Решение. Рассмотрим треугольник ABD (см. рис. 2). Из условия задачи следует, что прямые АС и DE содержат его высоты, то есть Е – точка пересечения высот этого треугольника (ортоцентр). Следовательно, прямая ВЕ содержит третью высоту треугольника, то есть ВЕ(AD.
2.3. Докажите, что натуральные числа n и n2017 оканчиваются на одну и ту же цифру.
Решение. Если число n оканчивается на 0, 1, 5 или 6, то и любая степень этого числа оканчивается на ту же самую цифру.
Если число n оканчивается на 4 или на 9, то последние цифры степеней этого числа чередуются в зависимости от четности показателя степени, то есть образуют цикл длины два (4 – 6 – 4 или 9 – 1 – 9 соответственно).
Аналогично, если число n оканчивается на 2, 3, 7 или 8, то последние цифры степеней этого числа образуют цикл длины четыре (2 – 4 – 8 – 6 – 2, 3 – 9 – 7 – 1 – 3, 7 – 9 – 3 – 1 – 7 или 8 – 4 – 2 – 6 – 8 соответственно).
Так как 2017 – 1 = 2016, а 2016 делится на 4 и на 2, то при любых значениях n число n2017 оканчивается на ту же цифру, что и число n.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. Решите уравнение:
=
.
Ответ: 0; 99;
.
Решение. Приведем к общему знаменателю выражения в левой и правой частях уравнения. Получим:
. Это равенство будет верным при условии, что x ( 49 и x ( 50, если:
1) числители полученных дробей равны нулю, то есть
. Тогда
;
2) равны знаменатели полученных дробей, а числители отличны от нуля, то есть
(
(
или
.
Отметим, что
=
= 49
, но получать это значение в явном виде необязательно.
3.2. В треугольнике АВС: АС = 8, ВС = 5. Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла С, проходит через середину стороны АВ и точку Е на стороне АС. Найдите АЕ.


Рис. 3
Ответ: 1,5.
Решение. Пусть CL – биссектриса внешнего угла С, D – середина АВ, K