Bai tap Dai so dai cuong thi cao hoc

QUAN HỆ --- TẬP HỢP:
C/M: nếu A ( X và B ( Y thì:
AxB=(AxY) ∩ (XxB).
CXxY (AxB)= (CX(A)xY) ( (XxCY(B).
Giả sử X là tập có n phần tử; r là số tự nhiên khác 0 và bé hơn bằng n. Tính:
Số các tập ( của X gồm r phần tử.
Số phần tử của P(X).
Cho f: X( Y là ánh xạ, A; B ( X và C; D ( Y. C/M:
f(A ( B)= f(A) ( f(B).
f(A ∩ B) ( f(A) ∩ f(B).
f-1(C ( D) = f-1(C) ( f-1(D).
f-1(C ∩ D) = f-1(C) ∩ f-1(D).
f(XA) ( f(X)f(A).
f-1(YC) = X f-1(C).
Cho ánh xạ f: A( B. CMR:
f là đơn ánh <=> ( tập X và mọi cặp ánh xạ g:X(A; g’:X(A sao cho: fg=fg’ đều suy ra g=g’.
f là toàn ánh <=> ( tập Y và mọi cặp ánh xạ h:B(Y và h’: B(Y sao cho hf=h’f đều suy ra h=h’.
Giả sử n là số tự nhiên cho trước, xét ánh xạ f: N( N xác định bỡi:


f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh?
Giả sử f: X( Y là ánh xạ và B ( Y. C/M:
f(f -1(B)) ( B.
f -1(f(A)) = B ( B ( Y khi và chỉ khi f là toàn ánh.
Cho ánh xạ f: R( R biến x thành f(x) = x2. Hãy tìm:
Ảnh của các đoạn [ -1; 1]; [-1; 1); (-2; 1].
Tạo ảnh của các đoạn: [-1; 1); [1; + ∞).
Vói mọi tậpp ( A của X, ta định nghĩa ánh xạ: ( A: X( {0; 1} như sau:
:

( A gọi là hàm đặc trưng của tập ( A của X. C/m với mọi A; B bất kỳ ( X ta có:
( A ∩ B(x) = ( A(x). ( B(x).
( A ( B(x)= ( A(x)+ ( B(x)- ( A(x). ( B(x).
( AB(x)= ( A(x). (1- ( B(x)).
Với hai tập X; Y tuỳ ý ta kí hiệu Hom(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ từ X đến Y.
C/m tương ứng từ P(A)( Hom(X; Y) biến A( ( A là một song ánh, trông đó Y={0;1}.
Từ câu a hãy suy ra nếu X có n phần tử thì tập P(X) có 2n phần tử.
NHÓM --- ĐỒNG CẤU.
Giả sử S là tập các số thực nằm trên đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * trên tập S như sau: a*b= a+b-a.b ( a, b ( S.
C/m: (S; *) là một vị mnhóm giao hoán.
Giả sử S là tập các số thực nằm trên đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * trên tập S như sau: a*b= min (a+b; 1).
C/m (S, *) là một vị nhóm giao hoán.
Tìm các phần tử khả nghịch jtrong vị nhóm giao hoán S.
Cho X là tập tùy ý và L(X) là tập các ánh xạ từ X(X.
C/m: L(X) là vị nhóm với phép toán là phép nhân hai ánh xạ.
Xác định tất cả các phần tử khả nghịch trong L(X).
Giả sử a; b là các phần tử của nửa nhóm X sao cho: ab=ba, C/m (ab)n=(ba)n. với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Giả sử S là tập các số phức khác 0, ta định nghĩa phép toán * trong S như sau: a*b=|a|.b với mọi a, b ( S.
C/m: (S, *) là một nửa nhóm.
Tìm các phần tử đơn vị trái phải của S