BAI TAP

TÀI LIỆU

Bài 1: Cho phương trình:
cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0.
a/ Giải phương trình khi a =
.
b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn.
Phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0.
+ Đặt t = sinx + cosx =

cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx)
vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx =
và cos3x + sin3x =
.
+ Phương trình (1) trở thành:

+ a.
= 0 ( t3 – at2 – 3t + a = 0 (2).
Câu a /
+ Với a =
: (2) trở thành:
t3 –
t2 – 3t +
= 0 ( (t +
)(t2 - 2
t + 1) = 0
( (t +
)(t -
+ 1)(t -
- 1) = 0
( t = -
hay t =
- 1 hay t =
+ 1.
+ So lại điều kiện: | t | (
nên phương trình (1) tương đương với:

.
Câu b /
+ Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghiệm
t ([-
;
]
+ f(t) liên tục trên R
f(-
) =
- a ; f(
) = -
- a; f(0) = a.
a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 ( [-
;
]
a < 0: f(-
).f(0) = a(
- a) < 0 ( f(t) = 0 có nghiệm t ((-
;0).
a > 0: f(0).f(
) = a(-
- a) < 0 ( f(t) = 0 có nghiệm t ((0;
).
+ Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a.

Bài 2: Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b.

Hướng dẫn.
Xét hàm số: y = f(x) = x3 + x2 + ax + b
+ Tập xác định: R.
y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số (’ = 1 – 3a.
+ Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và
f(x1).f(x2)< 0.
+ Suy ra:
(x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0).
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được:
f(x) = x3 + x2 + ax + b =
.
Suy ra f(x1) =
; f(x2) =

+ f(x1).f(x2) < 0 ( (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0.
+ Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0
nên x1 + x2 =
; x1.x2 =
.
Do đó:

suy ra: 4(3a – 1)(a2 – 3b) + (9b – a)2 < 0
+ Vì (9b – a)2 ( 0 và 3a – 1 < 0 nên a2 – 3b > 0.

Bài 3: Tìm cực trị của hàm số:
y = sin2x + cotg2
+ 4cos2
- 4sinx – 4cotg
( 0 < x < ().

Hướng dẫn.
Hàm số: y = sin2x + cotg2
+ 4cos2
- 4sinx – 4cotg

+ Đặt z = sinx + cotg
; z2 = sin2x + cotg2
+ 4cos2
. Do đ ó: y = z2 – 4z.
+ y’x = y’z . z’x = (2z – 4)(
) = 2(sinx + cotg
- 2)
.
+ Do: 0 < x < ( ( cosx < 1 (
< 0
Nên: y’ cùng dấu với: - sinx - cotg
+ 2
+ Đặt t = tg
suy ra: - sinx - cotg
+ 2 =
.
+ Tam thức 2t2 – t + 1 luôn dương với mọi t vì có biệt số âm;
0< x < ( nên 0<
<
( t(1 + t2) > 0.
Do đó: y’ cùng dấu với t – 1.
+ y’ = 0 ( t – 1 = 0 ( tg