Bài giải câu hình vào 10 của nghệ an

Bµi gi¶i c©u 4 ®Ò thi vµo líp 10 n¨m häc 2008-2009 TØnh NghÖ An

§Ò bµi:
Cho ®­êng trßn (O;R),®­êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®­êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB.TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®­êng th¼ng AC,AD lÇn l­ît t¹i E vµ F.
1,Chøng minh r»ng BE.BF= 4R

2, Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn
3,Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi gi¶i:

1, CD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn nªn
CAD =1v

EAF vu«ng t¹i A, AB lµ ®­êng cao cña tam gi¸c nµy nªn ta cã: BE.BF = AB
= 4R


2, DÔ thÊy ADBC lµ h×nh ch÷ nhËt nªn
BAD =
ADC
Mµ
BAD =
AEB (cïng phô víi
F
)
Suy ra
ADC =
AEB


AEB +
CDF =
AEB +(180
-
ADC ) = 180
.
VËy tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn

3, VÏ ®­êng trung trùc cña EF c¾t EF t¹i K,vÏ ®­êng trung trùc cña CD,hai trung trùc nµy c¾t nhau t¹i I. Gäi H lµ giao cña AK vµ CD.
AK lµ ®­êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng EAF
nªn
KAF =
F


AOD c©n t¹i O nªn
OAD =
ADO.


ADO +
KAF =
OAD +
F
=
ABF =1v

AHD =1v hay AK
CD

AK// OI (1)
MÆt kh¸c :KI // AO (do cïng vu«ng gãc víi EF) (2)

Tõ (1) vµ(2) suy ra AOIK lµ h×nh b×nh hµnh
KI= AO =R
Do AB cè ®Þnh nªn ®­êng th¼ng EF cè ®Þnh, IK =R kh«ng ®æi nªn t©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD lu«n ch¹y trªn ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng EF cè ®Þnh vµ c¸ch EF mét kho¶ng kh«ng ®æi b»ng R