Bai BDT de du bi quoc gia nam 2008-2009

Lê Xuân Đại, GV THPT Chuyên vĩnh phúc
Bài BĐT trong đề thi dự bị quốc gia năm 2008-2009 khá hay và “hơi khó”. Tôi đã tìm ra hai lời giải cho nó. Sau đây xin post một lời giải, anh em xem thử nhé.
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
(1)
Lời giải. Đặt Từ giả thiết suy ra
Ta có nên BĐT (1) tương đương với BĐT sau:
(2)
Theo BĐT Schur nên
Do đó để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh:
Tức là ta cần chứng minh : (3)
Bổ đề: Với các số x,y,z dương thoả mãn điều kiện tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x=cosA, y=cosB, z=cosC (chứng minh đơn giản)
áp dụng bổ đề trên, ta cần chứng minh:
(4)
Thật vậy, BĐT (4) tương đương với
(5)
Trong một tam giác luôn tồn tại 2 góc cùng lớn hơn hoặc bằng hoặc cùng nhỏ hơn hoặc bằng Giả sử hai góc đó là B và C, khi đó BĐT (5) đúng.
Vậy BĐT (1) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
OK.