5 Bài toán sangaku Nhật Bản

5 Bài toán trong đền thờ Thần Đạo ở Nhật Bản

Có một cụm từ trở nên quen thuộc như một biểu tượng văn hóa đáng tự hào của người Nhật Bản, đó là “sangaku”, nghĩa của nó là các bảng toán học. Chúng là các bảng gỗ được sơn vẽ một cách cẩn thận, tinh tế, trên đó có các bài toán  về hình học được dùng để trang hoàng trong các ngôi đền Nhật.
Ký tự trên các bảng toán này là tiếng chữ Hán cổ, trong khoảng vài mươi năm trở lại đây  chúng đã được thông dịch sang những ngôn ngữ hiện đại để mọi người có thể tiếp cận những tri thức trên đó.
   Lời nói đầu của Sangaku treo trong đền Katayamahiko vào năm 1873 do Irie Shinjyun viết khi ông bảy mươi tám tuổi. 
"Toán Học rất sâu xa. Mỗi người đều có phương pháp  giải toán riêng. Điều này đúng ở trời Tây cũng như ở Trung quốc và Nhật Bản. Những ai không rèn luyện kiên trì thì sẽ không thể giải được  những bài  toán khó. Tôi vẫn chưa làm chủ được môn  toán, dù cho tôi đã học nó từ trẻ. Vì thế tôi không thể là thầy của ai cả, dù cho có rất nhiều người muốn nhờ tôi dạy toán cho họ. Tôi đã giúp họ giải những bài toán và đã treo một sangaku trên điện thờ Katayamahiko gần đó, trên đó tôi đã đưa ra mười sáu bài toán đã được giải. Tôi dâng tặng bản gỗ này cho điện thờ với hy vọng rằng các học trò của  tôi có thêm phương tiện rèn luyện kỹ năng giải toán."


Ta bắt đầu với một bài toán đại số kiểu Diophan (phương trình nguyên) và tiến lên từ những bài hình dễ đến những bài càng lúc càng phức tạp. Những bài này đòi hỏi một  mức độ kỹ năng đại số kết hợp với một mức độ suy nghĩ “lắt leó” khó chịu. Tuy thế, đa số là có thể  giải được bằng cách sử dụng định lý Pitago và thêm một chút tính toán.
Xin giới thiệu 5 bài toán hình cơ bản đầu tiên, mời quý độc giả theo dõi.

Bài Toán 1: 
Đây là bài toán ở bên phải ngoài cùng trên sangaku ở đền Monjuin, Bài toán số học này do Tomitsuka Yukô đề nghị.  Có N khách viếng đền thờ. Ta chỉ biết rằng  (1)7N/9 là một số nguyên và hai chữ số cuối cùng là 68;  (2) 5N/8 là số nguyên và hai chữ số cuối cùng là 60. 
Tìm giá trị nhỏ  nhất có thể có của N
Đáp số: 7N/9 = 1568; 5N/8 = 1260; và N = 2016 


Bài Toán 2: Do Hosaka Nobuyoshi đề nghị vào năm 1800, bài  toán này là bài toán thứ ba trên sangaku trong đền Mizuno. 
Một hình thang có cạnh đáy lớn là b, cạnh đáy nhỏ là a, và chiều cao là h. Chia h ình thang thành n hình thang nhỏ có diện tích bằng nhau, như trong hình. Gọi k là cạnh đáy lớn của hình thang nhỏ nhất. Tính n theo a, b, và k.  

Ví dụ: Nếu a = 1, b = 7, và k = 3 , thì n = 6.

Bài Toán 3: Bài toán này ở bên phải phía dưới  sangaku trong đền Katayamahiko. 

Hình thoi ABCD ngoại tiếp hai đường tròn có bán kính r và hai đường tròn  nhỏ hơn có bán kính t như trong hình. Ta biết AC = 2a = 85 và BD = 2b = 42. Tìm r và t.
Đáp số trên bản khắc gỗ: 2r = 21.559 và 2t = 19.854,
đáp số này có thể đã ghi sa (chưa rõ do ai ?)i.

Bài Toán 4: Bài toán này là bài toán thứ năm kề từ góc dưới bên trái của sangaku trong đền Katayamahiko.
Như hình dưới chỉ rõ, một hình thoi ABCDcạnh k và một đường tròn nhỏ bán kính r nội tiếp trong tam  giác vuông EBF có cạnh là a, b, c. Tìm 2r theo a, b và c.
Đáp số:


Bài Toán 5: 
Năm 1819, Ishiguro Nobuyoshi (1760-1836) xuất bản quyển sách, Sangaku Kochi, trong đó sangaku có nghĩa là “học toán”, không phải là bản khắc gỗ, và vì thế tựa sách có thể dịch là Học Toán. Trong cuốn thứ ba trong bộ ba cuốn, Ishiguro ghi lại nội dung của bốn mươi bản khắc gỗ được treo từ 1783 đến 1814.
Tác giả là một môn đệ của trường phái Nakata và tất cả bản khắc gỗ là do các môn đệ của Nakata Kokan (1739-1802) soạn ra.
Bài toán trình bày ở đây nguyên được Batsui Mitsunao, một thiếu niên mới mười lăm tuổi,  đề nghị và được viết trên  bản khắc gỗ được treo vào năm 1812 trong điện thờ Nishihirokami Hachiman ở thành phố Izumi, tỉnh