4 Định lý Carnot nổi tiếng

4 Định lý Carnot nổi tiếng trong hình học

Trong một số bài toán hình học phẳng, chúng ta có thểt sử dụng “định lý Carnot (Cac-nô)” – định lí được đặt tên theo nhà Toán học Lazare Carnot.
Nhưng cần biết rằng: Có 4 định lý được đặt tên là định lý Carnot.
Xin giới thiệu để các bạn tùy bài toán liên quan ý nghĩa định lí để áp dụng:

Định lý thứ nhất nói về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác.
Định lý thứ hai nói về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy, còn gọi là định lý Carnot về tam giác hình chiếu.
Định lý thứ ba nói về điều kiện cần và đủ để sáu điểm trên một cạnh của tam giác nằm trên một đường conic gọi là định lý Carnot về đường conic.
Định lý thứ tư là một mở rộng định lý đường thẳng Simson.
1/ Định lý Carnot về tổng khoảng cách tâm ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác
Định lý Carnot này khẳng định tổng khoảng cách có hướng `từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác sẽ bằng tổng bán kính của đường tròn nội tiếp cộng ngoại tiếp.
Với các ký hiệu như hình vẽ:


Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khoảng cách có dấu được hiểu như sau DX (X = F, G, H) sẽ mang dấu âm khi và chỉ khi nó nằm hoàn toàn bên ngoài tam giác. Trong hình vẽ DF mang dấu âm ; DG  và  DH  mang dấu dương.
Định lý trên được sử dụng để chứng minh định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp.
2/ Định lý Carnot về tam giác hình chiếu
Định lý hình học nổi tiếng khác đặt theo tên Carnot là định lý về điều kiện để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy. Định lý này phát biểu như sau: Gọi L,M,N lần lượt là ba điểm nằm trên ba cạnh BC,CA,AB của tam giác, khi đó ba đường thẳng qua L,M,N tương ứng và vuông góc với ba cạnh BC,CA,AB đồng quy khi và chỉ khi:


(Tam giác LMN màu đỏ là hình chiếu của điểm P lên ba cạnh tam giác ABC; tam giác LMN còn gọi là tam giác bàn đạp của P
3/ Định lý Carnot về đường conic
Nội dung định lý như sau: Cho tam giác 
, các điểm 
 trên cạnh 
; các điểm 
 trên cạnh 
; các điểm 
 trên cạnh 
.
Khi đó sáu điểm 
 nằm trên một conic nếu và chỉ nếu:


Định lý Carnot cho đường conic là mở rộng định lý Menelaus. Định lý cũng đúng trong trường hợp một đường bậc cao cắt các cạnh của một tam giác.
 Định lý Carnot tiếp tục được mở rộng cho các đường bậc cao cắt các cạnh của một đa giác bất kỳ, cụ thể như sau:
Cho một đa giác 
, cho 
 điểm 
 nằm trên cạnh 
 với 
. Khi đó 
 điểm 
 với 
 and 
 nằm trên một đường cong bậc 
 suy ra: [3]

Trong đó 

4/ Định lý Carnot mở rộng định lý Simson
Chân của một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác xuống ba cạnh của tam giác thẳng hàng khi và chỉ khi các góc này bằng nhau.

Cách phát biểu khác:
Gọi D là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A0, B0, C0 lần lượt là các điểm trên ba cạnh BC, CA, AB khi đó góc hợp bởi các đường thẳng DA0, DB0, DC0 lần lượt với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau thì A0, B0, C0 thẳng hàng

[Định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:
Cho tam giác 
 và một điểm 
 nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm 
 trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson` của điểm 
 đối với tam giác 
. Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson uy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.
Mệnh đề đảo của định lý này cũng đúng: Nếu hình chiếu của một điểm 
 trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm 
 nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.]

PHH sưu tầm & GT 2/2016 - Nguồn: Wikipedia.vn