20 đề thi HSG cấp tỉnh

ĐỀ THI TỔNG HỢP 11+12 NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thứ nhất (05 – 11 –2005) 180’ Bài 1: Chứng minh rằng
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2-p+1 là lập phương của một số tự nhiên. Bài 3: Cho đoạn thẳng AB=2a. Với mọi điểm C trên đoạn thẳng AB ta dựng 2 nửa đường tròn đường kính AC,BC nằm cùng phía với đoạn thẳng AB. Một đường thẳng tiếp xúc với 2 nửa đường tròn tại 2 điểm phân biệt P,Q. Gọi I là trung điểm của PQ và O là trung điểm của AB. 1) Chứng minh rằng bán kính đường tròn đi qua 3 điểm O,P,Qkhông bé hơn 2) Gọi E,F là các điểm trên đoạn thẳng AB sao cho OE=OFChứng minh rằng IE+IF không phụ thuộc vào vị trí điểm C Ngày thứ hai (06 – 11 –2005) thời gian :180’ Bài 4: Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi cặp 2 số nguyên dương m,n ta có chia hết cho Bài 5: Chứng minh rằng trong 108 điểm nguyên bất kì (x;y;z) thỏa mãn ta luôn chọn được 8 điểmsao cho các đoạn thẳng AiBi đồng quy tại trung điểm các đoạn đó. Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trong tâm O. Các đường thẳng AB,CD cắt nhau ở E, AD,BC cắt nhau ở F, AC,BD cắt nhau ở M. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N . Chứng minh rằng O,M,N thẳng hàng.











NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG 2005
Bài 1(2,0 đ):Cmr đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị cùng thuôc 1 parabol.Xác định pt của parabol đó. Bài 2(1,5 đ):Tìm các giá trị của a để pt :ax2+1=cosx có đúng 1 no trong
Bài 3(1,5 đ)cho hàm số :f(x)=
Tìm a,b để hàm có đạo hàm tại x=0. Bài 4(2,0 đ):Cho 2 csc:
thỏa mãn:


: Tìm tất cả giá trị k thỏa mãn. Bài 5(2,0 đ):Cho tứ diện ABCD có các đường cao bằng nhau. a,Cmr các cặp cạnh đối bằng nhau. b,Gọi
là số đo góc nhị diện cạnh AB.A,B là 2 góc
ABC.Cmr:2cotgA.cotgB+cos
=1 Bài 6(1,0 đ)Gọi A,B,C là 3 góc 1 tam giác và
thỏa mãn:
(sinx)3=sin(A-x) sin(B-x) sin(C-x) .Xác định giá trị max của x.
VÒNG 2:
Bài 1 Cho
và
CMR:
Bài 2 Cho biet pt :x2-ny2=1 có no ng dương với
a) Nếu n ng tố thì pt : nx2-y2=1có vô số no nguyên dương b) Một số nguyên dương n được gọi có tính chất A nếu tồn tại số nguyên dương N2 phân tích thành tổng bình phương n số nguyên dương liên tiếp.Hỏi có vô hạn số có t/c A hay không? Bài 3: cho hệ pt :
.Hỏi hệ có no không?
Bài 4: Cho lục giác
.Gọi P,Q,R là giao điểm các đường chéo chính .Các phân giác trong góc P cắt A1A2 và A4A5 tại P1 ,P2 .Các điểm P1 ,P2 ; P1 ,P2 được đ/n tương tự.Cmr: Nếu
thì lục giác có các cạnh đối song song



HSG TPHCM 2005:
VÒNG 1:
Câu 1: a) Cho hàm số:
.Cmr:
b) Cho:
.Tìm m để Min y>1
Câu 2: Cho x,y,z thuộc (0,1). Cm:a)
b)
Câu 3: Cho ai thuộc [0,1] (i=1,..,n). Cm:
Câu 4: Cho f:Z--->R được xác định: f(n)=
.Cmr: f(n)=91 với
Câu 5: Cho hình hộp có 2 mặt đối diện là hình chữ nhật // nhau là ABCD và A`B`C`D`. Đặt
,
là góc nhị diện (B,AC`,D). Cm:
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Tìm tứ giác có chu vi nhỏ nhất mà các đỉnh nằm trên các đỉnh khác nhau của hình chữ nhật.
VÒNG 2:
Bài 1: cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1. cm: