Vẽ Thêm yếu tố phụ hình học 9

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Một số hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác vuông.

Bài toán 1:
Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì thuộc miền trong hình chữ nhật.
Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

*GỢI Ý:
Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go.
Vì lí do đó vẽ đường phụ qua M vuông góc với AB tại E và ME cắt DC tại F. Ta có: MF ( DC.
Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán!
LƯU Ý:
Bạn đọc hãy xét trường hợp M nằm ngoài hình chữ nhật.
Bài toán 2:
Cho tứ giác ABCD có
+
= 900.
Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2.

*GỢI Ý:
Vì
+
= 900 < 1800 nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau, gọi E là giao điểm của AD và BC.
Từ đây ta có
= 900. Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác này sẽ cho ta kết quả cần chứng minh.
Điểm E là điểm cần vẽ thêm.
Bài toán 3:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD.

*GỢI Ý:
Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có AC ( BD.
Ta nhận ra rằng đường phụ BE // AC, E ( DC giúp ta tính được AC.
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, đường cao BH.
Chứng minh rằng:
.

*GỢI Ý:
Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C qua A, ta có tam giác BDC vuông tại B.
(BDC có
= 900, BH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta sẽ tìm ra lời giải bài toán.
Bài toán 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho
.
Chứng minh rằng:
= 900.

*GỢI Ý:
Từ giả thiết
ta nghĩ đến vẽ DF ( AH, F ( AH. Từ đó AF = HE, HA = FE và áp dụng định lí Py-ta-go ta chứng minh được BE2 + ED2 = BD2.
Bài toán 6:
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến.
Chứng minh rằng:


*GỢI Ý:
Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: AB < AC.
Ta vẽ đường cao AH để có các tam giác vuông HAB, HAC, HAM và áp dụng định lí Py-ta-go.
Bài toán 7:
Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC.
Chứng minh rằng: AB2 . CD + AC2 . DB – AD2 . BC = CD . DB . BC.

*GỢI Ý:
Ta vẽ thêm đường phụ là AH ( BC, H ( BC để xuất hiện được các tam giác vuông và áp dụng được định lí Py-ta-go.
Bài toán 8:
a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có:
AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD.”
b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD, ta có
AC2 + BD2 ( AD2 + BC2 + 2AB.CD
Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu – ĐHQG.
Tp. Hồ Chí Minh 1997 – 1998)

*GỢI Ý:
Ta vẽ các đường phụ AH ( DC, BK ( DC, H ( DC, K ( DC.
Bài toán 9:
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là ha, hb, hc.
Chứng minh rằng:
a) ha2 (
(a + b + c)(-a + b + c)
b) ha2 + hb2 + hc2 (
(a + b + c)2

*GỢI Ý:
Ta có:
ha2 (
(a + b + c)(-a + b + c)
( (2ha) 2 ( (b + c)2 – a2
( (2ha)2 + a2 ( (b + c)2
Ta nghĩ đến định lí Py