ứng dụng của hệ thức Viet

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình. Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phương trình bậc hai ax+ bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S = và P =
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax+ bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax+ bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai :

B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình
Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
b)
c)
Giải
Theo hệ thức Vi - ét có S =
P =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm xvà xcùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương
Theo hệ thức Vi – ét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu
S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P = nên 2 nghiệm trái dấu
S =

Bài tập 2 : Cho phương trình (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m0 với mọi m 0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 . Do đó và trái dấu
S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3:
Cho phương trình (1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là xxTìm m để biểu thức
đạt giá trị lớn