Ung dung cua bat dang thuc co si

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
ta có:

Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
(đpcm).
Cách 2:

Dấu "=" xảy ra
Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a. (a, b, c > 0)
b
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
a
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1.
b1.
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9.
c
áp dụng BĐT Côsi ta có

Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy được đpcm.
Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:
a.
b
áp dụng BĐT Côsi cho 6 số
Bài toán số 1.4
a. n số dương a1, a2, ..., an. Chứng minh rằng:

b.Nếu a1, a2,...., an dương và a1a2...an = 1 thì a1+ a2 +...+ an
áp dụng BĐT Côsi cho n số dương trên)
Bài toán số 2. Chứng minh bất đẳng Netbit
> 0.
Giải.
Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b
Khi đó x, y, z > 0 và

Ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z.
Cách khác:


Khai thác bài toán:
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau: với a, b, c dương ta có:


Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng

(1)
Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.
Giải
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dương x, y:


Cách 2. Xét hiệu của 2 vế:

(2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)
Khai thác bài toán:
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

trong đó

Bài tập tương tự:
Bài 1. Chứng minh rằng:


Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:


Bài 3. Cho
. Chứng minh rằng:


Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:


Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:


Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:


Bài 7. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:


Bài 8. Cho x, y ≠ 0. Chứng minh rằng:


Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:


áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng