TUYỂN SINH TOÁN 10 (BĐ 07-08)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2007 – 2008
Thời gian: 120 phút
Ngày thi: 25/7/2007


Câu 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =

b/ Chứng minh đẳng thức:
với a
0; a
0 và a
b

Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0

Câu 3: (2 điểm)
Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h.

Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:


---------------------------------------------------------------------------













ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPTNĂM HỌC 2007 – 2008


Câu 1: a/ A =

b/ Với a
0; b
0 và a
b, ta có:



Câu 2: Ta có:
= (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 > 0 (
= 21
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
= -12; x2 =
= 9
Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng: x +2 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng: x – 2 (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng:
(h)
Thời gian ca nô ngược dòng:
(h)
Theo đề bài ta có pt:
( 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
( 11x2 – 240x – 44 = 0;
= 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0 (
= 122
x1 = -
(loại); x2 = 22 (TM)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h
Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
Ta có:
= 900 (Gt)
( Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM
( OP = OH = OQ
Ta có:
= 300 (Vì (ABC đều có AH là đường cao)
(
600
Tương tự ta cũng có được:
600
(
OPH và
OHQ là các tam giác đều bằng nhau.
( OP = PH = HQ = OQ ( Tứ giác OPHQ là hình thoi.
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất.
Ta có: PQ = OQ
= OM
=

( PQ nhỏ nhất ( AM nhỏ nhất ( AM ( BC ( M trùng H.
Cách 2:
Ta có: PQ ≤ OP + OQ = OA + OM = AM
( PQ nhỏ nhất ( AM nhỏ nhất ( AM ( BC ( M trùng H.

Câu 5:
Ta có:
(1)
Với a, b > 0 ( a + b; 2a3 + 3b3; 2b3 + 3a3 > 0
( 1) ( 4(2a3 + 3b3)(2b3 + 3a3) - (2a2 + 3b2)(a + b)(2b3 + 3a3) - (2b2 + 3a2)(a + b)(2a3 + 3b3) ≥ 0
( 26a3b3 + 12a6 + 12b6 - 13a2b4 - 13a4b2 - 12ab5 - 12a5b ≥ 0
( (13a3b3 - 13a2b4) + (13a3b3 - 13a4b2) + (12a6 - 12ab5) + (12b6 - 12a5b) ≥ 0
( 13a2b2(a-b)(b-a) + 12(a5 – b5)(a- b) ≥ 0
( 12(a5 – b5)(a- b) - 13a2b2(a-