Tứ giác ( BDHSG )

Tứ giác
* Kiến thức cơ bản:
1) Định nghĩa
+ Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC. CD, AD trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.
+ Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Từ nay khi nói đến tứ giác mà không nói gì thêm ta hiểu đó là tứ giác lồi.
2) Tính chất: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360(

+Bổ sung: Tổng bốn gócngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 360(

Bài tập 1: Tứ giác ABCD có Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F.
Tính





Tam giác CED có
Vì DE, DF là các tia phân giác của hai góc kề bù nên DE (DF. Tương tự CE ( CF.
Xét tứ giác CEDF:

Bài tập 2: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ chu vi của tứ giác ấy.
Giải:
Đặt AB= a, BC= b, CD = c, AD =d
Theo định lí về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ta có:
AC + BD > a + c
AC + BD > b + d

2( AC + BD) > a + b +c + d
Nên AC + BD >
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
Xét tam giác ABC,
ta có AC < a+ b
Xét tam giác ADC, ta có AC < c + d
Suy ra 2 AC < a + b + c+ d hay AC < (1)
Tương tự: BD < (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC + BD < a+ b+c+d
Vậy tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi.

Bài tập 3: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và DC kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của góc CED và BMC cắt nhau tại K. Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD ( Đề thi HSG Hà nội )
















(*)
Ta có: