TS10 CHUYEN TOAN TP.HCM 17 - 18

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2017-2018
Môn Thi : TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 3 tháng 6 năm 2017
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1. (2 điểm)
Cho các số thực a, b, c sao cho
,
và abc = 11. Tính
.
Cho biểu thức
với m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì
chia hết cho m.
Câu 2. (2 điểm)
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC. Trên các cạnh BC, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AN = AB = BM. Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại K. Gọi H là hình chiếu của K lên AB. Chứng minh rằng:
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên KH.
Các đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH tiếp xúc với nhau.
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho x, y là 2 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B tù. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, CA, BC lần lượt tại L, H, J.
Các tia BO, CO cắt LH lần lượt tại M, N. Chứng minh 4 điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn.
Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với AJ; d cắt AJ và đường trung trực của cạnh BC lần lượt tại D và F. Chứng minh 4 điểm B, D, F, C cùng thuộc một đường tròn.
Câu 6. (1điểm)
Trên một đường tròn có 9 điểm phân biệt, các điểm này được nối với nhau bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Biết rằng mỗi tam giác tạo bởi 3 trong 9 điểm chứa ít nhất một cạnh màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 4 điểm sao cho 6 đoạn thẳng nối chúng đều có màu đỏ.
( HẾT(