Trao đổi vời Dương thế Nam về bài hình số 4

Bài 4
Cho đường tròn (O). Hai đường tròn (O1) và (O2) nằm trong (O) và cùng tiếp xúc trong với (O) với các tiếp điểm lần lượt là K và H. (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại I . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài (d1) của (O1) và (O2), (d1) cắt (O) tại A và B và tiếp xúc với (O1) và (O2) lần lượt tại M và N. Vẽ tiếp tuyến chung trong (d2) của (O1) và (O2), (d2) cắt (O) tại D (D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm K và H). Chứng minh rằng
Tứ giác MNHK nội tiếp được đường tròn.
DI là phân giác của góc ADB.

Để làm bài 4 ta xét hai bài toán phụ sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường phân giác của ACB cắt (O) tại D. Trên CD lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
/
Ta có CD là phân giác góc ACB suy ra D là điểm chính giữa cung AB nên DA = DB = DI suy ra tam giác DIB cân tại D suy ra góc DIB = góc DBI
Mà góc DIB = góc C2 + góc IBC, góc C2 = góc C1 = góc B1
Góc DBI = góc B1 + góc ABI do đó góc ABI = góc CBI suy ra BI là phân giác của góc ABC suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài toán 2. Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại M((O’) chứa bên trong (O)). Gọi P, N thuộc (O’). Qua P, N vẽ tiếp tuyến với (O’) chúng cắt (O) tại A, C và B, D. Chứng minh: tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD và BCD nằm trên NP.
/

Qua M kẻ tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn, ta có góc N1 = góc NPM = góc NMx. Góc B1 = góc M1 do đó góc NMD = góc NMB (góc N1 là góc ngoài tam giác NMB) suy ra MN là phân giác góc DMB.
Gọi Q là giao điểm của MN và (O) suy ra Q là điểm chính giữa cung BD do đó CQ là phân giác của góc BCD.
Gọi I là giao điểm của CQ và NP ta có góc ICM là góc nội tiếp chắn cung QDM, góc N1 là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên góc ICM = góc N1 do đó góc ICM = góc IPM suy ra tứ giác IPCM nội tiếp
Do đó góc QMP = góc NPA = góc IMC suy ra góc QMI = góc PMC = góc PIC = góc QNI suy ra tam giác QIM đồng dạng với tam giác QNI suy ra QI2 = QN.QM.
Mà góc QMD = góc QDN suy ra tam giác DQN đồng dạng với tam giác MQD suy ra QD2 = QN.QM suy ra QI = QD
Theo bài toán 1 thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
Tương tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD nằm trên NP
Bài 4 hình của Dương Thế Nam
Cho đường tròn (O). Hai đường tròn (O1) và (O2) nằm trong (O) và cùng tiếp xúc trong với (O) với các tiếp điểm lần lượt là K và H. (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại I . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài (d1) của (O1) và (O2), (d1) cắt (O) tại A và B và tiếp xúc với (O1) và (O2) lần lượt tại M và N. Vẽ tiếp tuyến chung trong (d2) của (O1) và (O2), (d2) cắt (O) tại D (D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm K và H). Chứng minh rằng
a) Tứ giác MNHK nội tiếp được đường tròn.
b) DI là phân giác của góc ADB.
/
b) Xét (O1) và (O) theo bài toán (2) ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADB nằm trên MI.
Xét (O2) và (O) theo bài toán 2 ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADB nằm trên IN do đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra DI là phân giác của góc ADB