TP THANH HOA 2015

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2014 – 2015


Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 9

Đề thi gồm có: 01 trang
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014

ĐỀ BÀI
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A =
.
Điều kiện x
, x
4; x
9 ; x
1
2) Rút gọn biểu thức: B =

Bài 2 (6,0 điểm)
1) Cho phương trình :
( a là tham số)
a) Giải phương trình trên.
b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.
2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:

Bài 3 (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số
sao cho :

Với n
; n >2
2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 .
Chứng minh : 52
3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi M là trung điểm của EF.
1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM.
2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có

(Hết)
Họ và tên thí sinh: ..........................................................Số báo danh: ................. Phòng thi: .............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm








1
(4đ)


1)



2điểm


Do x
0; x
1; x
4; x
9
A =

A =

A =

A =
=
=> ĐPCM




0,75







0,75



0,5



2)

2điểm



1,0


0,75

0,25






2





1a)

2điểm

(1)
ĐKXĐ : x

a
Biến đổi đưa phương trình về dạng : 2ax = a2 (a +1)
Với a = 0 thì phương trình có dạng : 0x = 0.
Phương trình (1) có vô số nghiệm với x
0
Với a
0 ta có x =





0,25
0,5

0,25
0, 25



Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm















2

 Để x =
là nghiệm của phương trình (1) thì :


a (2) và

- a (3)
Giải(2) ta được a
1, a
0
Giải (3) ta có: a
0 , a
-3
Vậy : a = 0 phương trình có vô số nghiệm x
0
a = - 3 ; a= 1 phương trình vô nghiệm.
a
1; a
-3 và a
0 phương trình có nghiệm duy nhất
x =




0,25

0,25


0,25




1b)

2,0 điểm

Theo câu a:
Với a = 0 thì phương trình có vô số nghiệm x
0 (loại do a >0)
Với a
1; a
-3 và a
0 phương trình có nghiệm duy nhất
x =

Vì a là số nguyên dương và a
1nên:
Nếu a = 2 thì x = 3 , là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu a > 2 thì a = 2k hoặc a = 2k + 1 với k
N, k > 1
Xét a