TONG HOP ĐE THI HSG TINH QUANG NGAI TU 2001 - 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2001 – 2002
Môn : Toán Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi :

Bài 1 :( 5 điểm)
Giải hệ phương trình
Ba số x,y,z thoả mãn điều kiện : và .
Chứng minh rằng:
Bài 2 ( 5 điểm)
Tìm m để phương trình x2 -4|x| + m = 0 có nghiệm duy nhất .
Tìm giá trị lớn nhất của y , với x R .
Bài 3 ( 5 điểm)
Một số được gọi là số chính phương nếu nó bằng bình phương của một số tự nhiên nào đó .
Hãy tìm tập hợp các số dư khi chia các số chính phương cho 5 .
chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 192n + 5n + 2002 không phải là số chính phương .
Bài 4 ( 5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. M là điểm bất kì trên cung AC (không chứa điểm B).Kẻ MH vuông góc với AC; MK vuông góc với BC (H thuộc AC, K thuộc BC). Gọi P, Q tươg ứng là trung điểm của AB và KH. Chứng minh rằng: tam giác PQM là tam giác vuông.
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2003 – 2004
Môn : Toán Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 23/3/2004

Bài 1 :( 5 điểm)
Thực hiện phép tính :

Giải hệ phương trình :

Bài 2 :( 5 điểm)
1. Trong tất cả các cặp số (x,y) thoả mãn : x2 – yx2 + 2xy – y + 7 = 0. Hãy tìm cặp số mà y có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn các điều kiện: - 1 ≤ a ≤ 2 ; - 1 ≤ b ≤ 2; -1 ≤ c ≤ 2 a + b + c = 0. Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6.
Bài 3 :( 4 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên a và b để số a4 + 4b4 là số nguyên tố .
Bài 4 :( 6 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh bằng 10cm. Gọi I là một điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn đi qua ba điểm A, O, D không chứa điểm O (I không trùng với A và D). IO cắt cạnh BC tại J. Cạnh DK của hình bình hành IJKD cắt BC tại E, EH là đường cao của tam giác EKJ.
a) Tính số đo của góc HEK.
b) Chứng minh rằng IJ > 10cm.
2. Cho tam giác ABC cố định, xét các hình chữ nhật có hai đỉnh ở trên cạnh BC của tam giác và hai đỉnh kia ở trên hai cạnh còn lại của tam giác. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2004 – 2005
Môn : Toán Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 29/3/2005

Bài 1 :( 5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P =
Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1.
Bài 2 :( 5 điểm)
Giải hệ phương trình
Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:
Bài 3 :( 4 điểm)
Cho A = 1 +2 +22 + …+ 22003 + 22004. Chứng minh rằng A chia hết cho 31.
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4 + n3 + 1 là số chính phương.
Bài 4 :( 6 điểm)
Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), nội tiếp trong đường tròn (O) . M là điểm bất kì trên dây BC. Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B; Qua M vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (D) và (E).
a) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi khi M thay đổi trên BC.
c) Khi M thay đổi trên BC thì trung điểm I của đoạn DE chạy trên đường nào?
-------------------Hết ----------------
Ghi chú :