Toan tuyen sinh lop 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức :
.
Giải hệ phương trình :

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
.
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm
sao cho:

và
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S).
AChứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: ME2 = MA.MP
Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh:
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
a/ Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
b/ Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

Hết



SBD thí sinh: ................. Chữ ký GT1: ..............................  Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
1a/


1b/
Điều kiện y
0 .

.
Đặt
,
(
), ta có hệ

Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2
Trường hợp u = 2 , v = 3 có : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x =
3 ; y = 9)
Trường hợp u = 3 , v = 2 có : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x =
4 ; y = 4)
Hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
Bài 2/

(1)
Đặt :
, ta có :
(2) (
) .

với mọi
.
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt
. Tương đương với:
(3)
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương
và phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:

Theo giả thiết:
(4)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
và
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
và


.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:

và
.
Bài 3:
a/ + Hình vẽ


Do đó :
(1)
+ Tương tự:
và

Từ (1) và (2):
,
Do đó

b/ + Hai tam giác MEP và MAE có :
và
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:

c/ + Tương tự ta cũng có:

+ Do đó:

+ Nhưng

+ Từ đó:

Bài 4:
Xét số tùy ý có 4 chữ số
mà
. (a, b, c, d là các số nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của

Do b, c là số tự nhiên nên:
. Vì vậy :




trong trường hợp

Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
Bài 5:
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.
Ta có
; a, b, c
, diện tích tam giác ABC là

Trước hết ta chứng minh