Toán học: STGT 9 chuyên đề toán- luyện thi ĐH môn toán

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
( Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.
( Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + ... + xn
x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn
...............................
x1x2 ... xn
( Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
( Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn(1 +... an, a0 ≠ 0, ai ( P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì:
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:



Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 ( SX + P = 0.
2. Định nghĩa:

, trong đó

3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
.
GIẢI
Đặt
, điều kiện
. Hệ phương trình trở thành:


.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
.
GIẢI
Đặt
, điều kiện
Hệ phương trình trở thành:


.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
.
GIẢI
Điều kiện
.
Hệ phương trình tương đương với:

Đặt
ta có:


.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
.
GIẢI
Điều kiện
. Đặt
, ta có:

và
.
Thế vào (1), ta được:


Suy ra:

.
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

.
GIẢI
Điều kiện
ta có:


Đặt
,
Hệ phương trình trở thành:

.
Từ điều kiện
ta có
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
có nghiệm thực.
GIẢI

.
Đặt S = x + y, P = xy,
Hệ phương trình trở thành:
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình


.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
hệ trở thành:

.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
(*).
Hệ có nghiệm
(*) có 2 nghiệm không âm.

.

Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
có nghiệm thực.
GIẢI

.
Đặt
. Hệ phương trình trở thành:

(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví