TOÀN 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ 1
(cấp Quận, năm học: 1998 – 1999)

ĐẠI SỐ:
1 – Tính:


2 – Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:


3 – Cho biểu thức:

a/ Tìm điểu kiện của x; y để Q có nghĩa.
b/ Rút gọn Q.
c/ Tính Q lúc:
và


4 – Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

với

HÌNH HỌC:
Câu 1: Cho (O; R) cố định và điểm P cố định với
. Vẽ cát tuyến di động PAB không qua tâm O với A; B
(O; R). Tiếp tuyến tại A và B của (O; R) cắt nhau ở C. Gọi H là trung điểm của OP. Đường thẳng CH cắt (O; R) tại 2 điểm M; N và OC cắt BA ở Q.
a/ Chứng minh: OQ . OC = R2.
b/ Chứng minh:
đồng dạng với
.
c/ Chứng minh tứ giác OMPN là hình vuông.
d/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
luôn đi qua 2 điểm cố định khi cát tuyến PAB quay quanh P.
e/ Cho CH cắt QP ở I. Tia OI cắt CP ở L. Chứng minh tổng:
không đổi.
f/ Chứng minh:
.
Câu 2: Cho (O; R) và điểm C với OC = 2R. Điểm P thuộc đoạn thẳng OC với
. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OC tại P. Điểm M bất kỳ thuộc d và ở ngoài (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến MH, MK với (O; R); với H và K là 2 tiếp điểm. Chứng minh: C, H, K thẳng hàng.





ĐỀ 2
(cấp Quận, năm học: 2001 – 2002)
Câu 1: Tính


Câu 2: Cho biểu thức:


a/ Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức A.
c/ Tính giá trị của A nếu x = 6
Câu 3: Tìm x, y, z thỏa đẳng thức:


Câu 4: Chứng minh rằng:
a/
với mọi

b/
với mọi a, b, c, d
R.
Áp dụng: biết x2 + y2 = 52
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y.
Câu 5:
Cho
đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung AB (M không trùng với A và B). Tiếp tuyến tại M với (O; R) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a/ Chứng minh tam giác COD vuông và AC . BD = R2.
b/ Gọi N là giao điểm của OD và nửa đường tròn (O; R). Chứng minh rằng: N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBD.
Câu 6:
Cho (O; R) đường kính AB. Điểm M thuộc đoạn thẳng OA và
. Một cát tuyến CD của (O; R) quay quanh điểm M(với C; D
(O; R) và C; D không trùng A; B). Gọi K; H; I lần lượt là hình chiếu của B; A và O xuống CD.
a/ Chứng minh BK > AH.
b/ Chứng minh DH = CK.
c/ Khi cát tuyến CD quay quanh điểm M thì I di động trên đường nào?
d/ Tìm giá trị lớn nhất của hiệu BK – AH theo R và vị trí của cát tuyến CD lúc đó.




ĐỀ 3
(cấp Thành phố, năm học: 1998 – 1999)

Bài 1: Định m để cho hệ phương trình sau có nghiệm:



Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(cho x > 0, y > 0 và
)

Bài 3:
Cho a, b,c đôi một khác nhau và
.
Cho biết hai phương trình
(1) và
(2) là các nghiệm của phương trình
.

Bài 4:
a/ Cho tam giác ABC và điểm D thuộc đường thẳng BC. (D nằm ngoài đoạn BC) thỏa DA2 = DC. DB. Chứng minh rằng DA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Cho hình thoi ABCD có góc
. Một đường thẳng qua D không cắt hình thoi, nhưng cắt các đường thẳng AB và BC lần lượt tại