Tìm liên hệ X1,X2 (PT bậc 2) không qua m

Tìm hệ thức giữa hai hai nghiệm của phương trình bậc hai (không phụ thuộc tham số).
 
 
(Các bước để giải bài toán dạng này trích từ sách : Phương pháp giải các dạng toán :
Bài tập căn bản và nâng cao lớp 9 tập hai )

Trước tiên, cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vì nếu phương trình vô nghiệm thì sẽ không áp dụng được hệ thức Viét. •    Bước 1 : Lập S  ( phụ thuộc theo tham số m ) •    Bước 2 : Lập P  ( phụ thuộc theo tham số m ) •    Bước 3 : Khử m  để lập một hệ thức giữa S  và P . •    Bước 4 : Thay S=x 1 +x 2   và P=x 1. x 2   thì được hệ thức phải tìm.
 
Chú ý : Nếu P  hay S  bằng hằng số thì đó chính là hệ thức phải tìm, không cần 2 bước sau.
Có một cách khác được trình bày trong cuốn sách "Phương trình bậc hai và một số ứng dụng”, như sau : Xét biểu thức: aP+bS , trong đó a, b  là những số phải xác định để khử m  khỏi biểu thức đó. Sau đó đưa biểu thức về dạng :
M.a + N.b + P (m) =0  ( M,N  là hằng số )
Biểu thức P(m)   lúc này còn chứa a,b . Chỉ cần xác định a,b  sao cho P(m)   =0  là ta có hệ thức cần tìm. ( Cách này thường được áp dụng cho các biểu thức mà trong đó số mũ cao nhất của m  là 1 ).
Ngoài ra, ở những biểu thức có các hệ số đơn giản. ta có thể tự mò ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.
Ví dụ Bài toán
Cho phương trình : x2 − m 2 x + 2 m+1= 0 . Gọi x 1 ,x 2   là hai nghiệm của phương trình trên. Lập hệ thức liên hệ giữa x 1   và x 2   không phụ thuộc vào tham số m .

Giải
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Δ=(−m) 2 − 4.1.(2m+1) ≥ 0 

( m 4 −8m−4 ≥ 0 ( m 4 ≥ 8m+4 
Theo định lý Viét, ta có : 
{S=x 1 + x 2 = m 2  P = x 1 .x 2 = 2m+1  (S 2 ≥4P) 
Ta có : P = 2m+1 ( m = (P−1): 2    Thay m = (P−1): 2    vào biểu thức S= m 2  , ta có :
S= m 2 (P−1): 2  ] 2 = P 2 −2P+1) 4   

( 4S = P 2 −2P+1 ( P 2 − 2P− 4S +1=0 

( x 1 2 .x 2 2 − 2x 1 . x 2 −4(x 1 +x 2 ) +1=0 
 
 



 


Nguồn đienantoánhọc (VMF) st 1 – 2013 - PHH