Tho ve thay giao

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*****************************

















“ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa”
*************************************************















Hà tĩnh, ngày 20 tháng 03 năm 2008
Bài toán gốc:
Chứng minh rằng: n- n 6 với mọi nZ
Chứng minh: Ta có: n- n = (n - 1)n(n + 1)
Xét n = 3k khi đó n- n = (n - 1)n(n + 13 (k Z)
Xét n = 3k + 1 khi đó n -13 n- n = (n - 1)n(n + 13 (k Z)
Xét n = 3k + 2 khi đó n + 13 n- n = (n - 1)n(n + 13 (k Z)
Vậy n- n 6 với mọi nZ
dụng:
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
xyzx + y + z + 2008 (1)
Bài giải:
Ta có: (1) (xyz- (x + y + z) = 2008
xx) + ( yy)+ (zz) = 2008 (2)
Dể thấy vế trái của (2) chia hết cho 6 còn vế phải của (2) chia cho 6 có số dư là 4.Do đó phương trình (1) không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 2:
Chứng tỏ rằng hệ phương trình sau không có nghiệm nguyên:

Bài giải:
Ta có: Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có:
( xx) + ( yy)+ (zz) = 2007 (*)
Phương trình (*) có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 dư 3 do đó vô nghiệm.Vậy hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 3:
Cho x+ x+ . . . + x6 (với xxxZ)
Chứng minh rằng: x+ x+ . . . + x6
Bài giải:
Xét hiệu ( x+ x+ . . . + x- (x+ x+ . . . + x
= (xx+ (x- x( xx6
Mà x+ x+ . . . + x6 do đó : x+ x+ . . . + x6 (đpcm)
Bài 4:
Cho N = 2009
N viết được dưới dạng tổng của n số tự nhiên n, n, . . . , n
Tìm số dư của tổng: S = n+ n+ . . . + nkhi chia cho 6
Bài giải:
Ta có N = n+ n… + n
Do S - N = (n+ n+ . . . + n- (n+ n… + n6
Nên S và N phải có cùng số dư khi chia cho 6
Mặt khác 2009 chia cho 6 có số dư là 5 do đó 2009chia cho 6 có số dư là 1
Vì vậy N = 2009(2009chia cho 6 có số dư là 1
Kết quả : S = n+ n+ . . . + nchia cho 6 có số dư là 1
Bài 5:
Chứng tỏ rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
2= xx + 1004 (5)
Bài giải:
Bây giờ ta sẻ sử dụng kết quả sau:
x=
áp dụng ta có : 1+ 2+ … + (x - 1) x=
Khi đó ta có:
(5) = + 502
1+ 2