Thi TP.Hanoi 03-04

Sở giáo dục đào tạo
Hà nội
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố 2003-2004
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút


Câu I. (4 điểm)
Chứng minh rằng : là số tự nhiên
Cho tổng:
S =
So sánh S với
Câu II. (4 điểm)
Cho 4 số dương x, y, z, t có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Câu III. (4 điểm)
Giải phương trình:
Câu IV. (4 điểm)
Cho 100 điểm phân biệt và một đường tròn (O) cố định có bán kính 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một đa giác 2004 đỉnh nội tiếp đường tròn (O) sao cho: Tổng các khoảng cách từ mỗi đỉnh của đa giác đó đến 100 điểm đã cho đều không nhỏ hơn 100 cm.
Câu V. (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R, một dây MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại F.
Chứng minh MNE đồng dạng với NFM
Gọi I là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MIN có chu vi lớn nhất.
===***===