Thi HSG T9

đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 ( Đề 1)



Câu 1: ( 2 điểm)
Cho ax3 = by3 = cz3 và
+
+
= 1
Chứng minh :

=
+
+



Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho các số thực a,b thỏa mãn
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính P = a2004 + b2004

Câu 3 : (2 điểm)
Cho phương trình : y2 + 5x2 + 2x – 4xy = 3
Tìm cặp số (x,y) sao cho x nhỏ nhất
b.Chứng minh rằng nếu a, b, c là số nguyên lẻ thì phương trình
ax2 + bx + c = 0 không thể có nghiệm hữu tỉ.

Câu 4 : (2 điểm)
Giải phương trình :
+
= 10

Câu 5 : ( 2 điểm )
Giải hệ phương trình : x + y = 1
x5 + y5 = 11
Câu 6 : ( 2điểm)
Cho Parabol (P) : y = x2 và điểm A(3;0) điểm M có hoành độ a thuộc (P)
Xác định a để AM có độ dài ngắn nhất
Chứng minh rằng khi AM có độ dài ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M.
Câu 7: ( 2 điểm)
Cho biểu thức S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd Trong đó: ad – bc = 1
Chứng minh: S



Câu 8 (2điểm):
Cho
ABC có AB = BC và
ABC = 80o. Lấy điểm I ở trong tam giác ABC sao cho
IAC = 100 ,
30o. Tính
.

Câu 9 : (2điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên đường chéo AC lấy điểm E và F sao cho góc EBF = 450. Đờng thẳng BE, BF cắt AD và CD lần lợt tại M và N .
MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại i .
a.Chứng minh AB = BI.
b.Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.

Câu 10 (2đ):
Cho
ABC. Tìm tập hợp (
) những điểm M trong mặt phẳng sao cho hình chiếu của M lên 3 cạnh của
ABC là ba điểm thẳng hàng.
(Những bài toán hình học hay lớp 9)






























hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi Toán lớp 9


đây là sơ lược cách giải, giám khảo căn cứ vào bài làm của học sinh để chấm cho chính xác. Mọi cách giải khác đúng vấn cho điểm tối đa.
Điểm của bài thi là tổng các tổng các điểm thành phần không làm tròn.



Câu
ý
Phần nội dung
Điểm

Câu 1 ( 2đ)


















Đặt A =
=

vì ax3 = by3 = cz3

A =
=



=

Tơng tự
;

Suy ra
+
+
= A

Vậy
=
+
+



0,5đ





0,5đ

0,5 đ



0,5đ

Câu2:
(2đ)

Ta có a102 + b102 = (a101 + b101) (a+b) – a101b – ab101
a102 + b102 = ( a101 + b101) (a+b) – ab (a100 + b100