Thi hoc sinh gioi huyen

UBND Huyện Đông Anh
Phòng GD-ĐT
-------------------
Đáp án chấm thi Học Sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2010-2011


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1

2điểm
Gọi A là một điểm trong 6 điểm. 5 đoạn thẳng nối A với 5 điểm còn lại (B,C,D,E,F) được tô bởi 2 mầu nên theo nguyên lí Đirichlê tồn tại 3 đoạn thẳng cùng mầu. Không mất tính tổng quát giả sử đó là AB, AC, AD cùng mầu đỏ.

+ Xét tam giác BCD:
- Nếu tồn tại 1 cạnh của tam giác BCD tô mầu đỏ( chẳng hạn BC) thì tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng mầu đỏ(tam giác ABC). Vậy bài toán được chứng minh.
- Nếu không có cạnh nào của tam giác BCD tô màu đỏ thì tam giác BCD có 3 cạnh cùng mầu xanh. Vậy bài toán được chứng minh.



Bài 2
6điểm




b) (4 đ) Ta có a2 + b2 +c2 =14 => (a2+b2 + c2)2=142
=> a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2 b2c2 = 196
=>a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2+a2c2+b2c2)
Ta lại có: a + b + c= 0 => (a+ b + c)2 = 0
=> a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc = 0
=> 14+ 2( ab+ ac + bc) = 0 ( do a2 + b2 + c2 = 14)
=> ab + ac + bc = -7
=> (ab + ac + bc)2 = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 + 2 a2bc + 2 ab2c + 2 abc2 =49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 + 2abc( a + b + c) = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 = 49( do a + b + c = 0)
Vậy M = a4 + b4 +c4 = 196 – 2.49 =98




Bài 3

3điểm
Gọi x, y, z là độ dài các cạnh của một tam giác vuông
Giả sử x+ y 2
Theo định lý Pitago ta có: x2 + y2 = z2 (1)
Theo đề bài ta có: xy = x+ y + z => xy =2( x+ y + z) (2)
Từ (1) suy ra: z2 = (x+y)2- 2 xy = (x+y)2 - 4(x+ y + z) ( theo (2))
=> z2 = (x+y)2 – 4( x + y) – 4z
=> z2 + 4z + 4 = (x+ y)2 – 4(x + y) + 4
=> (z+2)2 = ( x+ y – 2)2
=> z+ 2 = x+ y -2( do x+ y 2)
=> z = x+ y – 4
Thay z = x+ y – 4 vào (2) ta được: xy = 2( x + y + x + y - 4)
=> xy = 4x + 4y – 8 => xy- 4x – 4y + 16 = 8 => (x- 4)(y – 4) = 8
Mà 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
hoặcSuy ra hoặc
Dựa vào định lý Pitago tính được x=5; y=12; z=13
hoặc x= 6 ; y= 8; z= 10








Bài 4
3điểm
Gọi số học sinh của lớp 9B tham gia họp mặt là x(học sinh, xN*, x<50)
Bạn thứ nhất của lớp 9B quen 11 = 10 + 1 bạn của lớp 9A
Bạn thứ hai của lớp 9B quen 12 = 10+2 bạn của lớp 9A
Bạn thứ ba của lớp 9B quen 13 = 10+3 bạn của lớp 9A
…
Bạn thứ x của lớp 9B quen 10 + x bạn của lớp 9A.
Mà bạn cuối cùng quen tất cả các bạn lớp