Thành

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN

1)Cho x, y, z
và
. Chứng minh:


GIẢI
Ta có: VT + 3 =

0.25





0.25


0.25



(đpcm)
( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ( 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI
Ta có
nên



Tương tự ta có



Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

vậy Amax =


3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
.
G
Đặt
. Ta có:

Và
. ĐK:
.
Suy ra :
.
Do đó:
,


và
.
KL: GTLN là
và GTNN là
( HSLT trên đoạn
)
4)Với mọi số thực dương
thỏa điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
.
G

Áp dụng BĐT Cô-si :
(1). Dấu bằng xãy ra khi
.
Tương tự:
(2) và
(3).
Mà:
(4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có:
.

. KL: GTNN của P là
.
5. Chứng minh
với mọi số dương
.
G
Ta có:
(1)
Tương tự:
(2),
(3).
Cộng (1), (2), (3), ta có:


6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
. CMR:

+Ta có :
;
;

+ Lại có :





cộng các BĐT này ta được đpcm.


7) Cho a, b, c
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


GIẢI
Ta có: P + 3 =











Để PMin khi a = b = c = 1


8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

GIẢI
.Ta có :VT =






Từ đó tacó VT

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z
.Chứng minh rằng:

+
+

45
xyz.

GIẢI
Bất đẳng thức


+
+




VT

.

Đặt t =

ta có
do đó t
1
Điều kiện . 0 < t
1. XÐ hàm số f(t)=
+

=45
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
; z=
.

10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng


GIẢI
Để ý rằng
;
và tương tự ta cũng có

Vì vậy ta có:



11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh


GIẢI
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:
.
Đặt
.
Vế trái viết lại:


Ta có:
.
Tương tự:

Do đó:
.
Tức là:


12. Cho hai số dương
thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

GIẢI
Cho hai số dương
thỏa mãn:
.


Thay
được:


bằng
khi
Vậy Min P =

Lưu ý:
Có thể thay
sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số


13. Cho x, y, z
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIẢI
Trước hết ta có:
(biến đổi tương đương)

Đặt x + y + z = a. Khi đó

(với t =
,
)
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t
. Có


Lập bảng biến thiên

GTNN của P là
đạt được khi x = y = 4z > 0

14. Chứng minh:
với mọi số