TÀI LIỆU VỀ ĐA THỨC RẤT HAY

Đa thức

Trần Nam Dũng
Trường ĐH KHTN Tp HCM

1. Lý thuyết cơ bản

Đa thức, hệ số, bậc
Đa thức là biểu thức có dạng P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0, trong đó n được gọi là bậc của P(x), và ta ký hiệu n = deg(P). an, an-1, …, a0 được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó an được gọi là hệ số cao nhất, a0 là hệ số tự do. Nếu an = 1 thì P(x) được gọi là đa thức đơn khởi. Bậc của đa thức hằng P(x) = a0 bằng 0 nếu a0 ( 0. Bậc của đa thức đồng nhất 0 được coi là bằng -(.

Các đa thức có thể cộng, trừ, nhân, lấy hàm hợp. Ta có các quy tắc cơ bản sau để tìm bậc của các đa thức kết quả:
deg( P(x) + Q(x)) ( max{deg(P(x), deg(Q(x))}
(nếu deg(P(x) ( deg(Q(x)) thì chắc chắn có dấu bằng)
deg(P(x)Q(x)) = deg( P(x)) + deg(Q(x))
deg(P(Q(x)) = deg(P(x)).deg(Q(x))

Hệ số của đa thức có thể lấy trong C, R, Q, Z …

Phép chia có dư: Với các đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ, tồn tại duy nhất cặp đa thức S(x) và R(x) sao cho
P(x) = Q(x).S(x) + R(x) và deg(R(x)) < deg(Q(x)).
Nếu R(x) = 0 thì ta nói Q(x) chia hết P(x) và viết Q(x) | P(x).

Định lý Bezout. Số dư trong phép chia P(x) cho x – a là P(a). Ta có một hệ quả của định lý Bezout: a là nghiệm của P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x – a.

Nghiệm của đa thức, nghiệm bội
Cho đa thức P(x), a được gọi là nghiệm bội r của P(x) nếu ta có
P(x) = (x-a)rQ(x),
Trong đó Q(x) là đa thức và Q(a) ( 0.
a là nghiệm bội r khi và chỉ khi P(a) = P’(a) = …= P(r-1) = 0, P(r)(a) ( 0.

Số nghiệm của đa thức
Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm (tính cả số bội). Hệ quả: Nếu hai đa thức bậc không quá n trùng nhau tại n+1 điểm phân biệt thì chúng trùng nhau.

Định lý cơ bản của đại số. Mỗi một đa thức P(z) = anzn + … + a0 với ai thuộc C, n ( 1, an ( 0 có ít nhất một nghiệm trong C.

Định lý Vieta. Cho đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 có n nghiệm là x1, x2, …, xn. Khi đó ta có
x1 + x2 + … + xn = -an-1/an ;
x1x2 + x1x3 + … + xn-1xn = an-2/an;
...
x1x2...xn = (-1)na0/an.

Căn của đơn vị. Phương trình xn = 1 ngoài nghiệm x = 1 còn có n-1 nghiệm khác là
với k=1, 2, ..., n-1. (0 = 1. Tất cả các nghiệm này được gọi là căn bậc n của đơn vị. Ta có một số tính chất cơ bản sau đây:
1) (k = ((1)k;
2) Nếu ( là căn bậc n của đơn vị và ( ( 1 thì 1 + ( + (2 + ... + (n-1 = 1;
3) xn-1 = (x-1)(x-(1) (x-(12)... (x-(1n-1);
4) 1 + x + ...+ xn-1 = (x-(1) (x-(12)... (x-(1n-1).

Đa thức bất khả quy
Đa thức P(x) với hệ số thuộc K được gọi là bất khả quy trên K[x] nếu P(x) không thể biểu diễn được dưới dạng tích của hai đa thức bậc không nhỏ hơn 1 với hệ số thuộc