Skkn bui xuan truong

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho = 900.
a/ Chứng minh CD = AC + BD
b/ Kẻ OMCD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC.
Chứng minh MN//AC (Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996)
Giải:
a/ Chứng minh CD = AC + BD
Nối CO cắt DB tại E. Xét ACO và BOE có:
( = 900); (đđ); OA = OB (gt)
=> ACO = BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE
DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên DCE cân tại D
=> CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC
=> CD = AC + BD
b/ Chứng minh MN//AC: Vì DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA
=> ACO = MCO (ch,cgv) => MC = CA
Tương tự: ODM = ODB => MC = CA
Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên (hệ quả định lý Talet)
Hay => MN//AC
Bài 2: Cho ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC
(Đề thi HSG quận 1, 95 – 96)
Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có
KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK = và DK = KC
Vậy tam giác KDC cân tại K =>
Mà (gt) =>
Ta có: = (góc ngoài tại đỉnh K củaDCK)
=> (doABC cân tại A)
=> DBK cân tại D => BD = DK = EC/2
Bài 3: Cho ABC có = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh AD2 = AB2 + AC2
(Đề thi HSG quận 6, 97 – 98)
Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax
sao cho = 600
Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC => AEC đều
Ta có: = 300 + 600 = 900
ABE vuông tại A cho ta: BE2 = BA2 + AE2
Hay BE2 = AB2 + AC2 (1)
Mặt khác: = + 600
=>
Xét ACD và ECB có: AC = CE; CD = CB => ACD = ECB (c-g-c)
=> DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB2 + AC2
Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (BA; BC). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC.
a/ Chứng minh CD = AE và CDAE
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.
c/ Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.
(Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001)
Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CDAE
Ta có ABE = DBC (c-g-c)
=> CD = AE
Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:
(đđ) và ABE = DBC)
=>
Mà = 900 => = 900
=> = 900 hay AECD tại F
b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC
AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC)
=> MM’ là đường trung bình củaAEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC
Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình củaBCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang