Sang kien kinh nghiem giang day

đặt vấn đề
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo








Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số
A. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng


trong đó a,b,
là các hằng số ,a # 0 và
là biểu thức của n cho trước
Dạng 1
Tìm
thoả mãn điều kiện

(1.1)
trong đó
cho trước

Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
để tìm
Khi đó
(q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có

(1.2)
Phương trình đặc trưng có nghiệm
Vậy
. Từ
suy ra
Do đó

Dạng 2
Tìm
thoả mãn điều kiện

(2 .1)
trong đó
là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
ta tìm được
Ta có
Trong đó
là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và
là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy
q là hằng số sẽ được xác định sau
Ta xác định
như sau :
Nếu
thì
là đa thức cùng bậc với

Nếu
thì
với
là đa thức cùng bậc với

Thay
vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của

Bài toán 2: Tìm
thoả mãn điều kiện

(2.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng
có nghiệm
Ta có
trong đó
Thay
và phương trình (2.2) ta được

(2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau


Do đó

Ta có
Vì
nên

Vậy

D