Sáng kiến kinh nghiệm

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến : Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn Toán - THCS
Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm học 2009-2010
Tác giả :
Họ và tên : Nguyễn Thị Thu Hường.
Năm sinh : 1977
Nơi thường trú :TT Xuân Trường-huyện Xuân Trường-Tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán.
Chức vụ công tác: Giáo viên.
Nơi làm việc: Trường THCS Xuân Trường - huyện Xuân Trường – tỉnh Nam Định.
Địa chỉ liên hệ: Trường THCS Xuân Trường - Xuân Trường - Nam Định
Điện thoại : 0948870336
Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THCS Xuân Trường- huyện Xuân Trường- tỉnh Nam Định.
Địa chỉ : Tổ 18-TT Xuân Trường –huyện Xuân Trường –tỉnh Nam Định.
Điện thoại : 03503 886302






I. ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS tôi nhận thấy việc “ Giải phương trình nghiệm nguyên” đối với học sinh khá, giỏi là một dạng toán khó mà các em rất e ngại khi gặp phải. Trong thực tế khi dạy học sinh “Giải phương trình nghiệm nguyên” thì ngoài việc cung cấp cho các em các phương pháp giải cơ bản như: Phương pháp đưa về phương trình tích , phương pháp xét khoảng giá trị của ẩn, phương pháp tạo ra bình phương đúng, phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn , áp dụng định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc nhất nhiều ẩn,.... Phương pháp “đặt ẩn phụ” kết hợp với các phương pháp nêu trên để “giải phương trình nghiệm nguyên” là một thao tác hết sức quan trọng, biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo thì bài toán phức tạp sẽ trở thành đơn giản hơn.
Là một giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán THCS , tôi mạnh dạn nêu một số ví dụ về “Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ” mà bản thân tôi đã soạn, dạy cho học sinh của mình. Mời các bạn cùng tham khảo và đóng góp ý kiến để việc dạy và trang bị cho HS phương pháp giải PT nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ ngày càng tốt hơn.

II. THỰC TRẠNG

Thực tế, qua nhiêù năm giảng dạy tại trường, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệm nguyên, đặc biệt những phương trình không ở dạng mẫu mực, phương trình nhiều ẩn, những phương trình không giải được bằng những phương pháp giải cơ bản đã được giáo viên hướng dẫn. Học sinh thường bó tay khi gặp những phương trình lạ dạng hoặc thoáng nhìn thấy có vẻ phức tạp, những bài toán kiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trò trong quá trình học toán khiến giáo viên nản lòng. Trước thực tế đó, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến của bán thân mong có thể giúp được học trò cảm thấy hứng thú hơn khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.

III. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM
A. MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp với xét tính chia hết của ẩn:
Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x;y thoả mãn:

(I)
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:

(1)
Đặt : x+y=p

x-y=q

Suy ra :
;

Thế
;
vào (1) ta có :
(2)
Dễ thấy :
và

Suy ra p=3k (với
)
Thay vào (2) ta có :
(3)
Vậy
suy ra k=3m (với
)
Thay k=3m vào (3) ta có :

Vì

mà
Suy ra

+Với m = 0 thì k = 0, suy ra p = q = 0
và x = y = 0

Giá trị x = y = 0 không thoả mãn phương trình (I).
+Với m = 1 thì k = 3, suy ra p = 9, q =

Vậy x = 5, y = 4 hoặc x = 4, y = 5
Do đó , nghiệm của phương trình (I) là (4;5) và (5;4)
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :

Giải :
Ta có :


và

Đặt x = 3u, y = 3v ( u, v
) . Khi đó ta có :


Tương tự ,