RÈN LUYÊN TƯ DUY TOÁN HỌC

RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC VỚI 1 + 1 = ?

I.- Giới thiệu
  Đối với nhiều người, câu hỏi tưởng như vô cùng đơn giản: 


  Theo quan điểm của Toán học cổ sơ cũng như Toán học hiện đại, việc chứng minh “1 + 1 = 2” là thừa, vì nó không có bất kỳ một ý nghĩa nào nữa, thậm chí, người ta còn coi đây như một “Tiên đề” của số học nói chung và số tự nhiên nói riêng
Nhưng có một cách tư duy khác với giả định “1 + 1” sẽ không bằng 2 nữa, mà bằng một cái gì đó tùy ý theo đúng tư duy của Toán học.
II. Khái niêm bổ sung
Trước hết, ta cần có một số khái niệm cơ bản sau:
1. Tập hợp
Đây là khái niệm cơ bản của Toán học, nên ta không có định nghĩa  “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó mà ta gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp theo tính chất của các phần tử trong đó.
Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…
“Tập hợp các phương tiên giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…
Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…
Chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Decarte:
Cho hai tập hợp A và B, tích Decarte của A và B ký hiệu là AxB, là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y) trong đó, x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).
2. Ánh xạ
Cho hai tập hợp X và Y, một phép tương ứng “mỗi phần tử x của X với duy nhất một phần tử y của Y” được gọi là một ánh xạ.
Khi đó, chúng ta cần lưu ý trong định lý : Nếu x thuộc X thì phải có, và chỉ có 1 phần tử y thuộc Y tương ứng với x mà thôi, nếu có x mà không có y hoặc có 2 phần tử thuộc Y tương ứng thì đó không gọi là ánh xạ.
Ký hiệu ánh xạ là f từ X và Y, ảnh của phần tử x thuộc X ta ký hiệu là f(x).
III. Xây dựng mô hình giải bài toán
Sau khi có đủ hai khái niệm trên ta xây dựng mô hình cho bài toán 1 + 1 không bằng 2
Cho tập hợp số tự nhiên N và tập hợp tên các loại trái cây, ký hiệu là T. Khi đó, tích Decarte của tập N và N là NxN gồm các phần tử có dạng (a; b) (ta gọi là cặp số (a; b)), trong đó a, b là các số tự nhiên.
Xét ánh xạ f từ tập NxN vào tập T, khi đó, tương ứng với mỗi cặp số (a; b) là một tên của một loại trái cây nào đó, là f(a; b). Ta ký hiệu f(a; b) = a + b (lưu ý, a + b ở đây chỉ là một ký hiệu mà thôi).
Khi đó, xét cặp số (1; 1), nó sẽ tương ứng với một tên trái cây nào đó trong tập T (chắc chắc là phải có theo định nghĩa ánh xạ), giả sử đó là “Trái cam”. Khi đó ta được

hay nói cách khác, ta có “1 + 1 = Trái cam” (vì f(1; 1) = 1 + 1).


IV. Kết luận Từ mô hình trên, ta đã có được kết quả, 1 + 1 không phải là 2 nữa, mà nó có thể là bất cứ thức gì mà ta muốn.
Ngoài ra, từ mô hình này ta cũng có được câu trả lời cho “Tại sao 1 + 1 = 2”.
Đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra mà thôi, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+” thì người ta ký hiệu dấu “-”, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2” thì về bản chất cũng không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).
Tuy trong thực tế giảng dạy toán học cho HS, ngay từ vỡ lòng-mẫu giáo đến lớp 10 – 12….Người ta vẫn đưa ra 1+1 = 2 để thực hiện, rèn luyện các kỹ nằn tính toán ứng dụng cho cuộc sống hàng ngày , không ai chứng minh; cũng không ai bác bỏ !