Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
(Ban cơ bản)

Vấn đề 1: Điều kiện của phương trình
.
Điều kiện của phương trình là điều kiện đối với ẩn số
để
và
có nghĩa.
Chú ý: 1) Phương trình dạng:

Đặt điều kiện:

2) Phương trình dạng:

Đặt điều kiện:

Ví dụ 1:Tìm điều kiện của phương trình sau
1)
2)
3)
4)

Giải:
1) Điều kiện:




2) Điều kiện:




3) Điều kiện:



4) Điều kiện:




Bài tập tương tự: Tìm điều kiện của phương trình sau
1)
2)
3)

4)
5)
6)


Vấn đề 2: Phương trình tương đương và phương trình hệ quả.

Cho hai phương trình
(1) và
(2)
Gọi S1 và S2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2).
* Để chứng minh hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau ta chứng minh S1 = S2 . Khi đó ta viết: (1) ( (2).
* Để chứng minh phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) ta chứng minh
S1 ( S2 . Khi đó ta viết: (1) ( (2).
Ví dụ 1:
Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:

(1) và
(2)
Giải:
(1) (


Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là:
.
(2)

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
.
Ta có: S1 = S2 . Vậy: (1) ( (2).
Ví dụ 2: Cho hai phương trình
(1) và
(2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1).
Giải:
(1)(



Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là:
.
(2)(

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
.
Ta có: S1 ( S2 . Vậy: (1) ( (2).

Bài tập tương tự:

1) Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:

và

2) Cho hai phương trình
(1) và
(2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1).

Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
.

Để giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để mẫu số khác 0.
Bước 2: Quy đồng mẫu số, khử mẫu số đưa về giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1)
(1) 2)
(2)
3)
(3) 4)
(4)
Giải:
1)
(1)
Điều kiện:

Với điều kiện trên, ta có: (1)


Vậy phương trình (1) có nghiệm
.
2)
(2)
Điều kiện:

Với điều kiện trên, ta có: (2)

Vậy phương trình (2) có nghiệm
.
3)
(3)
Điều kiện:

Với điều kiện trên, ta có:
(3)
(loại do vi phạm điều kiện).
Vậy phương trình (3) vô nghiệm.
4)
(4)
Điều kiện:

Với điều kiện trên, ta có:
(4)


Vậy phương trình (4) có nghiệm
.

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)

4)
5)
6)

7)
8)
9)

10)
11)
13)


Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu căn.

Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.
Bước 2: Lũy thừa hai vế để khử dấu căn.
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện.
Bước 5: Kết luận.
Chú ý: 1) Tính chất cơ