Phương trình nghiệm nguyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Không có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên nhưng để giải nó người ta thường áp dụng một số phương pháp sau hoặc kết hợp các phương pháp tuỳ theo từng bài cụ thể. Sau đây là một số phương pháp thường dùng
I- Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn
y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:
Ta có y2 – 2x2 = 1 ( y2 = 2x2 +1 ( y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1
( x2 = 2 k2 + 2k ( x chẵn , mà x nguyên tố ( x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(
+ y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(
+ y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ( 2x + 5y + 1 lẻ ( 5y chẵn ( y chẵn

+ y + x2 + x =
+ y + x(x+ 1) lẻ
có x(x+ 1) chẵn, y chẵn (
lẻ (
= 1 ( x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
(5y + 1) ( y + 1) = 105 ( 5y2 + 6y – 104 = 0 ( y = 4 hoặc y =
( loại)
Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2( x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
( (x+1)4 – y2 = 1 ( [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1
(x+1)2 – y = 1 1 + y = 1- y
( (x+1)2 + y = 1 (
(x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y
(x+1)2 + y = -1
( y = 0 ( (x+1)2 = 1 ( x+1 = (1 ( x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn
Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Ta giả sử x ( y ( z ( t ( 1
Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
( 2 =
+
+
+
+
(
( t 3 ( 15 ( t = 1 hoặc t = 2
* Với t = 1 ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz
( 2 =
+
+
+
(


(
( 15 ( z =

Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy( (2x – 5) (2y - 5) = 65
( x =  hoặc 
Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng
Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên
* Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz( 4=
+
+
+
(

(
(
( 9 ( z = 2 (vì z( t( 2)( (8x – 5) (8y – 5) = 265
Do x( y( z ( 2 nên 8x – 5 ( 8y – 5 ( 11
( (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm
vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)
= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị
IV- Phương pháp loại trừ(phương pháp 4)
Khẳng định nghiệm