PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

CHUYÊN ĐỀ 8
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI
I/ DẠNG 1:
với e ≥ 0 là hằng số.
1/ Trường hợp: f(x) = ax + b hoặc f(x) =
thì:
Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ 0 để tìm điều kiện của x
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

2/ Trường hợp: f(x) = ax2 + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x)
* Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI CĂN.
Phương trình (
=> Tìm x
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn
Vì x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ta có
PT (
(

* Nếu f(x) = ax2 + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ.
Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ 0.
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn
Nhận xét: x2 – 4x – 6 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta không đưa được về phương trình trị tuyệt đối như Ví dụ 2.
Điều kiện: x2 – 4x – 6 ≥ 0
Bình phương hai vế phương trình ta được:
x2 – 4x – 6 = 15 ( x2 – 4x – 21 = 0 ( (x – 7) (x + 3) = 0
( x = 7 hoặc x = - 3
Thay x tìm được vào điều kiện ta thấy cả x = 7 và x = - 3 đều thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 7 ; x = - 3
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn
Nhận xét: Nhìn Ví dụ 4 có vẻ khác với dạng Ví dụ 3 nhưng thực ra là cùng một dạng
Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x - 6
Do đó cách giải tương tự Ví dụ 3:
Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥ 0

Bình phương hai vế phương trình ta được:
(x – 2)(x + 3) = 25 ( x2 + x - 6 = 25 ( x2 + x – 31 = 0
( (x2 + x +
) -
– 31 = 0 (
) -
= 0
(

Vậy phương trình có nghiệm x = 7 ; x = - 8
II/ DẠNG 2:
.
1/ Phương pháp.
Bước 1: Viết điều kiện của phương trình:

Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)2 thì chỉ cần điều kiện

Bước 2: Nhận dạng từng loại từng dạng tương ứng với phương pháp giải sau:
* LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì KHAI CĂN đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.
* LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
* LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 ) và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
* LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.
Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rối kết luận nghiệm.
2/ Các ví dụ.
Ví dụ 5: Giải phương trình:

Hướng dẫn
Điều kiện:

PT (

Kết hợp điều kiện => Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải phương trình:

Hướng dẫn
Nhận xét: x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 dạng bình phương một