PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI-ÉT

Ph­¬ng tr×nh bËc hai vµ ®Þnh lÝ ViÐt.
(Gồm 9 dạng toán và 21 bài tập tổng hợp)
D¹ng 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai.

Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
7) x2 + 2
x + 4 = 3(x +
) ; 8) 2
x2 + x + 1 =
(x + 1) ;
9) x2 – 2(
- 1)x - 2
= 0.
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 +
)x +
= 0 ; 4) (1 -
)x2 – 2(1 +
)x +1+3
=0
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) (
+ 1)x2 + 2
x +
- 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.

D¹ng 2: Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm.
Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm.
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lµ c¸c sè thùc th× ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm:
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÕt:

c) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 v« nghiÖm víi a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c.
d) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh bËc hai:
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 3:
a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bèn ph­¬ng tr×nh (Èn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 - 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
Chøng minh r»ng trong c¸c ph­¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
c) Cho 3 ph­¬ng tr×nh (Èn x sau):


víi a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng cho tr­íc.
Chøng minh r»ng trong c¸c ph­¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bµi 4:
a) Cho ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0.
BiÕt a ≠ 0 vµ 5a + 4b + 6c = 0, chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm.
b) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau ®­îc tho¶ m·n:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
D¹ng 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®èi xøng, lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai nhê nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai cho tr­íc.
Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 – 3x – 7 = 0.
TÝnh:


LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ
.
Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – 1 = 0. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:



Bµi 3:
a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y thµnh lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ
.
b) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ
.
Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = 0.
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m.
b) Víi m ≠ 0, lËp ph­¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n
.
Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh 3x2 + 5x – 6 = 0. H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:


Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph­¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 – 3x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph­¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n:


Bµi 8: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph­¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n:


Bµi 9: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y lËp ph­¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n:



D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, cã nghiÖm kÐp, v« nghiÖm.
Bµi 1:
a) Cho ph­¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (Èn x).
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp nµy.
b) Cho ph­¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Cho ph­¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0.
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.
Cho ph­¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.


Bµi 2:
Cho ph­¬ng tr×nh:
.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm.
Cho ph­¬ng tr×nh: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm.
D¹ng 5: X¸c ®Þnh tham sè ®Ó c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.
Bµi 1: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm kÐp ®ã.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 4. TÝnh nghiÖm cßn l¹i.
Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu)
Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d­¬ng (cïng ©m).
§Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia.
§Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 – x2 = - 2.
§Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 2: §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc ®· chØ ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bµi 3: §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc ®· chØ ra:
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ; x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6.
Bµi 4:
Cho ph­¬nmg tr×nh: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 sao cho nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia.
Ch­ ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 sao cho biÓu thøc
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
§Þnh m ®Ó hiÖu hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau ®©y b»ng 2.
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia lµ 9ac = 2b2.
Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ :
kb2 = (k + 1)2.ac
D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè.
Bµi 1:
Cho ph­¬ng tr×nh x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6.
Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - 1 < x1 < x2 < 1.
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m.
§Æt x = t + 2. TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm lín h¬n 2.
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp.
X¸c ®Þnh a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lín h¬n – 1.
Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm nhá h¬n 1 vµ mét nghiÖm lín h¬n 1.
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nhá h¬n 2.
Bµi 5: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: x2 – mx + m = 0 cã nghiÖm tho¶ m·n x1 ≤ - 2 ≤ x2.

D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè.
Bµi 1:
Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – 3 = 0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Cho ph­¬ng tr×nh: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2. T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm ®éc lËp víi m, suy ra vÞ trÝ cña c¸c nghiÖm ®èi víi hai sè – 1 vµ 1.
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m.
T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n:
.
Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh theo m.
Khi ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2:
T×m mét hÖ thøc gi÷a x1 ; x2 ®éc lËp víi m.
T×m m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.
Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph­¬ng tr×nh bËc hai.
KiÕn thøc cÇn nhí:
1/ §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh nµy cã mét nghiÖm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kia:
XÐt hai ph­¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = 0 (1)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
trong ®ã c¸c hÖ sè a, b, c, a’, b’, c’ phô thuéc vµo tham sè m.
§Þnh m ®Ó sao cho ph­¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1), ta cã thÓ lµm nh­ sau:
Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2), suy ra hÖ ph­¬ng tr×nh:


Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ hoÆc céng ®¹i sè ®Ó t×m m.
Thay c¸c gi¸ trÞ m võa t×m ®­îc vµo hai ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2) ®Ó kiÓm tra l¹i.
2/ §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh bËc hai t­¬ng ®­¬ng víi nhau.
XÐt hai ph­¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x +