Phương pháp giải phương trình vô tỉ

ONTHIONLINE.NET

A. Đặt vấn đề
Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phương trình vô tỷ thừơng xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình . Với đề tài này tôi chỉ xin được trao đổi cùng các bạn về các phương pháp giải phương trình vô tỷ một ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta phải đưa về hệ phương trình.
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9 , tôi thấy phương trình vô tỷ là một trong những phương trình mà khi giải người làm toán phải định hướng được nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn. Vì vậy khi học sinh giải các phương trình vô tỷ , để có một định hướng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không phải là công việc đơn giản. Trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi người giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo. Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh như sau:
b. giải quyết vấn đề
I. Cơ sở thực tiễn:
ở chương trình đại số 9 .Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai số học , sử dụng hằng đẳng thức
, các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải. Tuy nhiên chưa có hệ thống phương pháp giải nên học sinh còn lúng túng.
II. Khảo sát thực tiễn của đề tài:
1. Số liệu thống kê:
Khi chưa áp dụng đề tài, giáo viên ra bài tập giải phương trình vô tỷ, ta thấy:
*
số em giải đúng
*
số em giải chưa đúng
*
số em không giải được
2. Phân tích:
* HS không giải được hoặc giải sai kết quả do:
+ Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức...
+ Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình.
+ Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm.
III. Đề xuất- giải pháp
* Giúp HS:
+ Hình thành cho HS có kỹ năng giải phương trình vô tỷ
+ Đưa ra một số phương pháp giải cho HS khá, giỏi
iV. Nội dung
1* Một số vấn đề về lý thuyết
+ Khái niệm về phương trình vô tỷ: Ta gọi phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn
2* Một số phương pháp giải
1. Phương pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học


Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải
Ta có :


Giải x2=3x+4 ta được x=-1 ; x=4. Đối chiếu với điều kiện x
thì nghiệm của phương trình là x=4
2. Phương pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức
để đưa phương trình vô tỷ về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 2: Giải phương trình :
(2)
Giải :
Với điều kiện : x
ta có :
(2)



+


+


vì

* Nếu
thì ta có :
(thoã mãn)
* Nếu
thì ta có :
. Vậy phương trình có vô số nghiệm x thoã mãn

Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm
3. Phương pháp 3: Bình phương hai vế của phương trình vô tỷ đã cho để có phương trình hữu tỷ .
Ví dụ 3: Giải phương trình :
(3)
Giải
Điều kiện:


Ta có (3) <=>
(3’)
Hai vế của (3’) không âm, bình phương hai vế của (3’) ta được:
2x+5 =3x-5 +


(3’’)
Với ĐK:

. Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phương hai vế của (3’’) ta được: 16( 3x-5) =36+x2 -12x

x2 - 60x+116=0
x=2 ; x=58.
Đối chiếu với các điều kiện
và
thì nghiệm của phương trình là : x=2
Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phương trình đều không âm thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu cho điều kiện
rồi