Onluyendaiso9(T.Tuan)

một số vấn đề cần biết thêm về Căn bậc hai.

Chúng ta đã biết rằng: Trong chương I của phần Đại Số 9 với tiêu đề là căn bậc hai - Căn bậc ba, thì kiến thức cũng như kĩ năng cơ bản của nó chính là vận dụng ĐN, HĐT và các phép biến đổi của căn thức vào việc giải các bài tập tính toán và thu gọn (Các công thức biến đổi căn bậc hai được nhắc lại ở cuối chuyên đề). Song có không ít các bài tập trong chương trình, đặc biệt là các bài tập dành cho các em HS khá giỏi thì việc thực hiện vận dụng trực tiếp các kiến thức đó sẽ dẫn đến một lời giải rườm rà, không ngắn gọn và thậm chí không giải được. Sau đây là một số dạng toán đó và kèm theo là cách giải quyết loạt bài tập như vậy.
dạng 1
Vận dụng "hệ thức Viét" để đưa biểu thức có dạng
về dạng
(Biểu thức a được về dạng nếu S và P là tổng và tích của hai số))
Chúng ta bắt đầu với các căn thức có dạngViệc đưa căn thức này về dạng chỉ dễ dạng thực hiện được nếu như các số a và b là không quá lớn và dễ nhẩm. Tuy nhiên việc tìm hai số a và b trong nhiều trường hợp là một vấn đề không đơn giản.
Xét bài toán: Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)
Biểu thức A tuy có nhiều dấu căn nhưng khá đơn giản cho HS khi thực hiện rút gọn căn thức từ trong ra ngoài, ở biểu thức B thì tuy có ít dấu căn nhưng việc đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng (hay bình phương của một hiệu) thì đúng là một việc khó làm!
Trở lại bài toán ban đầu đã đặt ra là đưa biểu thức có dạng
về dạng
Ta có:
Từ đó thấy rằng có thể coi S = (a + b) còn P = ab
Trên cương vị là một người giáo viên thì chúng ta đều biết rằng nếu hai số a và b có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số a và b là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0 (Theo hệ thức Viét). Do vậy để đưa biểu thức có dạng về dạng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Viết căn thức đã cho về dạng chú ý phải có số 2 đứng trước
Bước 2: Lập phương trình x2 - Sx + P = 0 rồi giải tìm được hai nghiệm x1 = a và x2= b
Bước 3: Biến đổi và rút gọn căn thức
Chúng ta hãy cùng minh hoạ bằng một việc rút gọn một số biểu thức sau đây:
Ví dụ 1) M =
Bước 1: Căn thức đã cho đã có dạng với S = 10 và P = 21
Bước 2: Có thể nhẩm nhanh được ngay hai số 3 và 7 có tổng bằng 10 và tích bằng 21
Bước 3: Khi đó M
Chú ý: Trong thực hành ta chỉ cần trình bầy bước 3
Ví dụ 2) N =
Bước 1: Đưa căn thức N = về dạng với S = 53 và P = 360
Bước 2: Phương trình x2 - 53x + 360 = 0 có hai nghiệm x1 = 45 và x2 = 8
Bước 3: Khi đó N
Ví dụ 3) Q =
Thực hiện tương tự trên ta có được: Q =