On thi HSG toan 9, on thi vao 10

GIẢI CÁC BÀI TẬP

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ - PHẦN HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ 6
SÁCH ÔN THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN
CỦA SGD ĐT NINH BÌNH 2015Bài 6.1
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. a. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp. b. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định. c. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.
Giải
a. c/m tứ giác IKMB nội tiếp
Ta có
( vì chắn nửa đường tròn (O)
Lại có
(gt) nên tứ giác IKMB nội tiếp (vì có 2 góc đối cùng vuông)
b. c/m tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định
Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB ( vì cùng
CD)
(đ/vị)
Lại có
(cùng chắn cung
của (F) )

(cùng chắn cung
của (O) )
Suy ra
C, E, B thẳng hàng

C, F, B thẳng hàng
Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định



c. Kẻ DH
CB tại H
DH không đổi. Ta có DF
DH nên DF ngắn nhất bằng DH
Ta có



Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa S
CBD)

.
Vậy DF ngắn nhất bằng

Bài 6.2
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO ( C khác A và C khác O ). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a. Chứng minh tam giác EMF cân
b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng;
c. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
Giải











a) Ta có:
đường kính AB (gt) suy ra:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay
. Mặt khác
. Do đó
. Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

(cùng bù với
)
Mặt khác
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
)

cân tại E (đpcm)
b) Gọị H là trung điểm của DF. Dễ thấy
và
.
Trong đường tròn
ta có:
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn
) hay

Trong đường tròn
ta có:
(góc nội tiếp cùng chắn
)’


Dễ thấy
;
; Mà

Suy ra
hay
thẳng hàng.
c. Ta có: D; I; B thẳng hàng (cmt)
. Vì C cố định nên D cố định
không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.


Bài 6.3
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Giải



a) I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )

Ta có
( do AM là hai tiếp tuyến (O) )

( do AN là hai tiếp tuyến (O) )
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b) AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác
mà ∆OMN cân tại O nên

∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì
sđ
và
chung ) suy ra

∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2
Suy ra AB.AC = AH.AO
∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì
và
chung )


Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định

c) Ta có
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
Xét ∆MHE và ∆QDM có
( cùng phụ với
),
( cùng phụ với
)

∆PMH đồng dạng với ∆MQH


( ME = 2 MP ( P là trung điểm ME.

 Bài 6.4
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết
, tính độ dài dây BC theo R.
Giải
a) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK



(gt)


là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt)

là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt)

là đường trung bình của



b)
cân tại O


(T/c góc ngoài của tam giác)





Chứng minh tương tự:




cân tại O

Vì I là trung điểm của BC (gt)

Trong
:

Bài 6.5
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm M tuỳ ý (M khác O và B). gọi H là trung điểm của AM. Qua H kẻ dây DE vuông góc với AM. Kẻ MI vuông góc với BD tại I. Chứng minh rằng:
Tứ giác MHDI nội tiếp
DE l à phân giác của góc ADM
Ba điểm I, M, E thẳng hàng
HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
Giải
a) Tứ giác MHDI có (MHD + (MID = 1800 nên là tứ giác nội tiếp
b)ADME là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => DE là phân giác của góc ADM
c) ADME là hình thoi nên EM // AD => EM ( DB, mà MI ( DB = > E, M, I thẳng hàng.
d) Gọi K là trung điểm MB thì K là tâm đường tròn đk MB
(MKI cân tại M nên (MIK = (IMK, mà (IMK = (HME (đđ) = (DMH (t/c hthoi)
=> (MIK =(DMH (1)
(DMH + (HDM = 900 (2) ((HDM vuông)
(HDM = (HIM (3) (cùng chắn cung HM của đường tròn (MHDI))



Từ (1),(2) và (3) suy ra (MIK + (HIM = 900
=> HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB

Bài 6.6
Cho ®­êng trßn (O;R), d©y BC cè ®Þnh (BC < 2R) vµ ®iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. C¸c ®­êng cao BD vµ CE cña tam gi¸c ABC c¾t nhau ë H.
a)Chøng minh r»ng tø gi¸c ADHE néi tiÕp .
b)Gi¶ sö
, h·y tÝnh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn c¹nh BC theo R.
c)Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng kÎ qua A vµ vu«ng gãc víi DE lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
d) Ph©n gi¸c gãc
c¾t CE t¹i M, c¾t AC t¹i P. Ph©n gi¸c gãc
c¾t BD t¹i N, c¾t AB t¹i Q. Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?
Giải
a) BD
AC (gt)

=

CE
AB (gt)

=

Tứ giác ADHE có
nên là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ OI
BC (
), nối O với B, O với C
Có
=


=
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

cân tại O

.Suy ra OI

c) Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với DE.
Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn (O;R)
AO
sAt











nội tiếp (E, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông)
(cùng bù với
)
Mặt khác





(hai góc ở vị trí so le trong)

Có
,

(tiên đề Ơclit)

Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm O cố định.


d) Có
(cùng phụ với góc
).



vuông tại E



Mà BP, CQ là các phân giác nên MP, NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường .
Vậy có MNPQ là hình thoi.



Bài 6.7
Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF. a. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi. b. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’(khác F). Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang. c. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Giải
a. Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
.
Xét
AFB và
, ta có:
FAB=
FAC,
. Suy ra
AFB

Ta có AE2=AF2=AB.AC không đổi nên E,F thuộc đường tròn tâm A bán kính 

b.Do AEFO nội tiếp và AOIF nội tiếp nên AEIF nội tiếp =>(AIF=(AEF=(EE′F (góc nội tiếp và góc tạo bởi tt dây cung cùng chắn cung EF)
c.Gọi K là giao của EF và AC thì ta có tứ giác NKIO nội tiếp=>tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác NIO nằm trên đường trung trực KI
Ta cần đi chứng minh đường trung trực KI cố định bằng cách chứng minh K cố định (do I đã cố định rồi)
Ta có A,N,O thẳng hàng
Mà NKOI nội tiếp nên AN.AO=AK.AI
Lại có tam giác AEO vuông có đường cao EN nên AE2=AN.AO 
=>AK.AI=AE2=AB.AC 
Do AI,AB,AC có độ dài ko đổi nên AK ko đổi=>K cố định
=>Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ION nằm trên đường trung trực KI cố định


A

 Bài 6.8
Cho ®­êng trßn t©m O vµ hai ®iÓm B, C thuéc ®­êng trßn. C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êngtrßn t¹i B vµ C c¾t nhau t¹i A. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá BC. TiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn t¹i M c¾t AB, AC thø tù t¹i D, E. Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC theo thø tù ë I, K. Chøng minh:
a) BD. OE = OD. BI
b) Tø gi¸c DIKE néi tiÕp.
c) C¸c ®­êng th¼ng OM, DK, EI ®ång quy.
Gi¶i
a) ta cã : (BDI = (ODE (t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
(DBI =(DOE (=

)
Do ®ã (DBI ~ (DOE => BD. OE = OD. BI
b)

=> Tø gi¸c OBDK néi tiÕp (Theo quü tÝch cung chøa gãc)
=>

=>
vµ




Chøng minh t­¬ng tù

=> DIKE néi tiÕp ®­¬ng trßn ®­êng kÝnh DE
c) Theo c©u b) EI vµ; DK lµ c¸c ®­êng cao cña
DOE; OM còng lµ ®­êng cao cña
DOE
=> C¸c ®­êng th¼ng OM, DK, EI ®ång quy t¹i mét ®iÓm.

Bài 6.9 (tr.130)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC với
=1200. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đường tròn cắt nhau tại A.Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt AB tại E và cắt AC tại F.
a/ Tính chu vi tam giác AEF theo R
b/Gọi I và K tương ứng là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI cùng đi qua một điểm.
c/ Chứng minh: EF = 2IK
Gi¶i
a) Tính góc EOF:  EOF^ = FOM^ +EOM^ = BOM^/2 + COM^/2 = BOC^/2 = 1200/2 = 600 a) Tính chu vi của tam giác AEF :
AB = AC (tính chất 2 t. tuyến) => ABC cân  (ACB = sđ(BC/2) = (BOC/2 = 1200/2 = 600 => ABC là tam giác đều. 
CV(AEF) = AF + AE + EM + MF
= AE + BE + AF + CF = AB + AC = 2BC  Gọi H là giao của OA và BC có BC = 2.CH  OCH là tam giác vuông có (OCH = 300 => OH = OC/2 = R/2  CH2 = OC2 - OH2 = R2 - R2/4 = 3R2/4 
=> CH = R√3/2  => BC = R√3  => CV(AEF) = 2BC = 2R√3. 
b) Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK,FI cùng đi qua 1 điểm: 




OE là trung trực của BM (tính chất tiếp tuyến), I thuộc OE => IB = IM  => ΔOBI = Δ OMI (c.c.c) => (OMI = (OBI = 300 = (OCI => OCMI nội tiếp đường tròn, mà O,C,M thuộc đường tròn đường kính OF  => I thuộc đường tròn đường kính OF => (OIF = 900 (hay IF(OI) mà (OCF = 300 (tính chất tiếp tuyến)
=> OIFC nội tiếp đường tròn.  chứng ming